Вавилон

Более экономной была система записи, применявшаяся в Вавилоне. Числа от 1 до 59 писались примерно так же, как и в Египте: единица обозначалась клином  , а десяток — знаком  , составленным из двух косых клиньев. А дальше вавилоняне поступали почти так же, как это делаем сейчас мы. Чтобы написать, например, число 205, то есть 3 * 60 + 25, они изображали  . Первые три клина означали, что три раза берется единица высшего разряда (то есть 3 раза по 60), а дальше шло обозначение 25.

Так что в основном разница между вавилонской и современной записью чисел была в следующем: вместо числа 10 вавилоняне приняли за основу системы счисления число 60. Но было еще одно отличие, делавшее вавилонскую запись не совсем удобной: вавилоняне долгое время не знали нуля! Из-за этого запись  можно было прочесть совсем по-иному. Она могла обозначать также три единицы третьего разряда,. К которым прибавлено 25 единиц первого разряда, то есть 3 * 60² + 25 = 10825. Ту же запись имело и число 3 * 60² + 25 * 60 = 12300.

Если бы у нас не было нуля, мы тоже не могли бы различать числа 47, 407, 40007 и т. д. а вавилоняне не знали и запятой в обозначении шестидесятеричных дробей, а потому та же запись могла у них читаться еще и как  .

Поэтому вавилонским писцам трудно было разбираться, какое именно число записано. Конечно, если они знали, что стадо у крестьянина не слишком большое, то вряд ли у него было 10 тысяч овец, а вот 205 овец он мок иметь. Но в научных текстах понять смысл было труднее. И поэтому через два тысячелетия после возникновения их системы записи чисел вавилоняне стали писать наклонный клин для обозначения пропущенных разрядов.

Абак и пальцевой счет

Греки и римляне производили вычисления с помощью специальной счетной доски – абака. Доска абака была разделена на полоски. Каждая полоска назначалась для откладывания тех или иных разрядов чисел: в первую полоску ставили столько камешков или бобов, сколько в числе единиц, во вторую полоску – сколько в нем десятков, в третью – сколько сотен, и так далее. На рисунке показано число 510 742.

Так как у римлян камешек называли калькулюс (сравните с русским словом "галька"), то счет на абаке получил название калькуляция. И сейчас подсчет расходов называют калькуляцией, а человека, выполняющего этот подсчет – калькулятором. Но после того как два десятка лет тому назад были сделаны маленькие приборы, выполняющие за считанные секунды сложные расчеты, название "калькулятор" перешло к ним.

Один и тот же камешек на абаке мог означать и единицы, и десятки, и сотни, и тысячи – все дело лишь в том, на какой полоске он лежал. Чаще всего абаком пользовались для денежных расчетов. В Древней Греции бытовала шутка: "Придворный похож на камешек для абака: захочет счетчик, цена ему будет целый талант, а захочет – только хальк".

Наши счеты представляют собой также абак, в котором место полосок занимают проволоки для единиц, десятков и т. д. А у китайцев на каждой проволоке не по десять шариков, как в наших счетах, а по семь. Последние два шарика отделены от первых, и каждый из них обозначает пять. Когда при расчетах набирается пять шариков, вместо них откладывают один шарик второго отделения счетов. Такое устройство китайских счетов уменьшает необходимое число шариков.

Счет на абаке сменил более древний счет на пальцах. Древние египтяне полагали, что в загробном миру душу умершего подвергают экзамену по счету на пальцах. А в одной из древнегреческих комедий герой говорит, что предпочитает вычислять причитающиеся с него налоги по-старинному, на пальцах. Вероятно, счет на абаке казался ему слишком трудным.

Приверженцы старого метода стали его совершенствовать. Они научились даже умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках. К числу вытянутых пальцев, умноженному на 10, добавлялось полученное произведение.

В дальнейшем пальцевой счет был усовершенствован, и с помощью пальцев научились показывать числа до 10 000. А китайские купцы торговались, взяв друг друга за руки и указывая цену нажатием на определенные суставы пальцев.

Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, определяющееся позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число. Количество s различных цифр, употребляемой в позиционной системе, называется её основанием.

В общем случае позиционной системе с основанием s любое число x может быть представлено в виде полинома от основания s:

Принято пользоваться эквивалентной, но более простой формой представления числа в виде последовательности соответствующих цифр:

В этой последовательности запятая отделяет целую часть числа от дробной. Позиции цифр, отсчитываемых от запятой, называют разрядами. В позиционной системе счисления значение каждого разряда больше значения соседнего справа разряда в число раз, равное основанию s системы.

В электронных вычислительных машинах применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и некоторые другие. Наибольшее распространение в вычислительных машинах имеет двоичная система счисления. В этой системе используются только две цифры: 0 (нуль) и 1 (единица). Двоичное изображение числа требует большего (для многоразрядного числа примерно в 3,3 раза) количества разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее применение двоичной системы позволяет уменьшить общее количество аппаратуры и создаёт большие удобства для проектирования цифровых вычислительных машин, так как для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой простой элемент, имеющий всего два устойчивых состояния. Такими элементами, например, являются реле, триггерные схемы и т.п. Для представления десятичного разряда потребовалось бы четыре таких элемента.

Помимо двоичной системы счисления в вычислительной технике используется также другие системы с недесятичным основанием – восьмеричная и шестнадцатеричная, имеющие основанием соответственно числа 8 и 16.

В восьмеричной системе употребляются восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

В шестнадцатеричной системе для изображения чисел употребляется 16 чисел от 0 до 15. При этом, чтобы одну цифру не изображать двумя знаками, приходится вводить специальные обозначения для цифр, больших девяти. Первые десять цифр этой системы обозначают цифрами от 0 до 9, а старшие пять цифр - латинскими буквами: A, B, C, D, E, F.

Правила преобразования в восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичные исключительно просты, поскольку основания этих систем есть целые степени числа два:  ,  . Для перевода восьмеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру восьмеричного числа соответствующим трёхразрядным двоичным числом. Таким же образом для перехода от шестнадцатеричной системы к двоичной каждая цифра заменяется соответствующим четырёхразрядным двоичным числом(см таблицу). Например, восьмеричное число 306,4 в двоичной форме записи имеет вид:

 Для перехода от двоичной системы счисления к восьмеричной (или шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от запятой влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем каждую группу из трёх (четырёх) разрядов заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой (см таблицу).  

Десятичное изображение	Двоичное изображение	Восьмеричное изображение	Шестнадцатеричное изображение
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10