16 Кинетическая энергия вращающегося вокруг фиксированной оси твердого тела

Рассмотрим абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около неподвиж­ной оси z, проходящей через него (рис. 24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными мас­сами m₁, m₂, ..., m_n, находящиеся на рас­стоянии r₁, r₂, ..., r_n от оси вращения. При вращении твердого тела относительно не­подвижной оси отдельные его элементар­ные объемы массами m_i, опишут окружно­сти различных радиусов r_i и имеют раз­личные линейные скорости v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое те­ло, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

 = v₁/r₁ = v₂/r₂ = ... = v_n/r_n. (17.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энер­гий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (17.1), получим

где J_z — момент инерции тела относитель­но оси 2. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

T_вр = J_z²/2. (17.2)

Из сравнения формулы (17.2) с вы­ражением (12.1) для кинетической энер­гии тела, движущегося поступательно (T= mv²/2), следует, что момент инерции вращательного движения — мера инер­тности тела. Формула (17.2) справедлива для тела, вращающегося вокруг непод­вижной оси.

В случае плоского движения тела, на­пример цилиндра, скатывающегося с на­клонной плоскости без скольжения, энер­гия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вра­щения:

где m — масса катящегося тела; v_c — ско­рость центра масс тела; J _с — момент инерции тела относительно оси, проходя­щей через его центр масс;  — угловая скорость тела.

17 Работа внешних сил при вращение твердого тела

Найдем работу, которую совершают внешние силы при вращении тела вокруг неподвижной оси z. Обозначим внешнюю силу, приложенную к элементарной массе

,-, через ,. За время dt i-я элементарная масса проходит путь , где — угол, на которой поворачивается тело за время dt.

Работа силы на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которую можно обозначить символом ƒ_τu,( — единичный вектор касательной к окружности, по которой движется i-я элементарная масса; направление этого вектора совпадает с направлением перемещения в данный момент). Таким образом, .

Но i равно модулю момента силы , относительно оси z, т. е. | |, взятому со знаком « + », если положительна, и со знаком «—», если отрицательна. Следовательно,

Элементарный угол поворота можно рассматривать как аксиальный вектор . Работа dAi будет положительна, когда вектор Mzi,- имеет такое же направление, как и , и отрицательна, если направления векторов Mzi и противоположны. Поэтому формуле можно придать вид: .

Работа всех сил, приложенных к телу, равна сумме работ, совершаемых отдельными силами:

Сумма, стоящая в скобках, дает результирующий момент Мz всех приложенных к телу внешних сил относительно оси вращения. Следовательно,

Это выражение аналогично выражению для работы при поступательном движении: . Из сопоставления следует, что в случае вращения роль силы играет момент силы, а роль линейного перемещения — угловое перемещение .

Практически для вычисления работы пользуются выражением

где под подразумевается проекция результирующего момента приложенных к телу внешних сил на напраление вектора . Работа за конечный промежуток времени находится путем интегрирования выражения :

Если проекция результирующего момента сил на направление остается постоянной, ее можно вынести за знак интеграла:

( — угол, на который поворачивается тело за время t).