Задание 2

Составить математическую модель задачи линейного программирования: определить проектные параметры, записать целевую функцию и ограничения на проектные параметры. Решить задачу на ЭВМ.

Транспортная задача

На трех цементных заводах производится цемент одной и той же марки в количествах соответственно 30, 40, 53 тонн. Цемент следует доставить на четыре завода ЖБК, потребляющих его соответственно в количествах 22, 35, 25 и 41 тонн. Стоимости (у.е.) перевозок одной тонны продукта с -го ( ) завода на -й ( ) ЖБК приведены в таблице ниже.

Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Таблица

Цементный завод	Стоимость перевозки, у.е. Пункты назначения				Объем производства, ai
	ЖБК-1	ЖБК-2	ЖБК-3	ЖБК-4
№1	23	27	16	18	30
№2	12	17	20	51	40
№3	22	28	12	32	53
Объем потребления, bj	22	35	25	41	123/123

Решение:

Введем матрицу обозначений проектных параметров:

,

где – число тонн цемента, перевозимого с завода на ЖБК- ( , ).

Запишем математическую модель задачи.

Определим такую матрицу тонн перевозимого цемента , которая удовлетворяет ограничениям:

и обеспечивает минимальное значение целевой функции расходов:

.

Здесь , – число цементных заводов ( ) и ЖБК ( ); – стоимости перевозки 1 тонны цемента от -го завода к -у ЖБК; – объемы производства -го завода; – объем потребления -го ЖБК.

Последняя строка ограничений говорит о невозможности перевозить отрицательное количество цемента.

В нашем конкретном случае целевая функция и система ограничений примут вид:

,

Отметим, что количество производимого всеми заводами цемента равно общему объему потребления цемента всеми ЖБК, т.о. транспортная задача имеет закрытый тип.

2)

Найдем решение поставленной задачи линейного программирования при помощи пакета MS Excel. Для этого откроем новый лист «Задание 2».

В ячейки листа «Задание 2» запишем коэффициенты – расходы на стоимость перевозки 1 тонны цемента. В ячейки занесем объем производства ( ) цемента каждым заводом. В ячейки занесем объем потребления ( ) цемента каждым ЖБК. Начальную матрицу неизвестных со значениями ( , ) зададим в ячейках .

Ячейки содержат ограничения на транспортировку всего производимого на заводах цемента, т.е. содержат формулы: : =СУММ(B9:E9). Ячейки содержат ограничения на поставку всем ЖБК необходимого им количества цемента, т.е. формулы: : =СУММ(B9:B11).

Целевая функция записывается в ячейку и имеет вид:

=СУММПРОИЗВ(B9:E11;B3:E5).

После заполнения таблицы необходимыми исходными данными запускаем надстройку «Поиск решения». В появившемся окне в качестве целевой ячейки установим ячейку , укажем, что она должна быть равна минимальному значению. Изменяемыми ячейками являются те, что содержат начальное значение неизвестных, т.е. . Кроме того, необходимо «Добавить» ограничения. Ограничений будет три разновидности: ограничения на полное использование производимого цемента ; ограничения на полное удовлетворение потребностей в цементе всех ЖБК ; условие неотрицательности перевозимого количества цемента .

После установления всех необходимых параметров поиска нажимаем кнопку «Выполнить». Сохраняем результаты поиска решения (никаких отчетов делать необязательно). В результате получаем, что минимальное значение целевой функции расходов на перевозку цемента, составит у.е. и будет достигнуто при следующей матрице неизвестных:

.

При этом весь производимый заводами цемент будет распределен между ЖБК и потребность ЖБК в цементе будет полностью удовлетворена.

Итак, решение поставленной экономической задачи линейного программирования найдено!