4.2 Математическое описание волнового движения

Отвлечемся временно от описания строения атомов, чтобы познакомиться с математическим описанием волнового движения. Рассмотрим волну, изображенную на рисунке, которая с

течением времени передвигается вдоль оси х в направлении, указанном стрелкой. Это волновое движение можно описать количественно с помощью дифференциального уравнения

= ( ) ( ),

где А — амплитуда, т. е. высота волны, измеряемая по оси у при данном расстоянии х; с — скорость, с которой передвигается волна, a — время. Решением этого дифференциального уравнения является функция

A==аsin2(х/—).

где — длина волны, —ee частота и а—постоянная. Из уравнения можно найти амплитуду А во время t в положении х.

Другой тип волнового движения — стоячая волна — возникает при колебаниях струны с закрепленными концами. Стоячей волне отвечает стационарная картина с фиксированным профилем (вместо перемещающегося вдоль оси х, как в случае волны, изображенной ранее). Эмпирическим .путем

было найдено, что такая модель, обобщенная на случай трехмерной волны, лучше описывает поведение электрона, связанного с ядром. Дифференциальное уравнение, описывающее такую одномерную стоячую волну, имеет следующее решение:

A==2asin(2х/)cos2,

или более просто

A=f(x)cos2,

где f(x)—сокращенная запись для 2a sin(2x/)—функция только координаты х.

Вторая производная функция по времени, будучи подставленной в уравнение , позволяет исключить величину .

= -2a sin(2 ) sin2t2

= -2a sin(2 ) cos2t4²²

= -A4²² =

= -A = c²

Получающееся уравнение для стоячей волны может быть обобщено для описания трехмерной волны:

+ + + 4²/² == 0,

где —трехмерный аналог величины А ). Введя сокращенное обозначение,

+ + = ²,

получаем

²+4²/²=0. )

Уравнения являются дифференциальными уравнениями, описывающими стационарную трехмерную волну, и не содержат переменной t. Целью исключения этой переменной было получение уравнения, решения которого не зависят от времени.

4.3 Уравнение шредингера

Шрёдингер выбрал математическое описание стоячей волны в качестве модели для строения атома. Он включил в выражение для стоячей волны предположение де Бройля =h/m и получил

² + (4²m²²/h²) == 0.

Комбинируя уравнения с уравнением , связывающее полную энергию Е, потенциальную энергию V и кинетическую энергию m²/2 .

Е = V + m²/2 или ² = 2 (Е — V)/m,

можно получить уравнение Шрёдингера в его обычной форме

² +(8²m/h²)(E-V)=0

Следует помнить, что уравнение Шредингера не выводится из более общих законов, а является следствием, во-первых, эмпирического выбора уравнения для стоячей волны в качестве модели для описания поведения -электрона в атоме и, во-вторых, включения в последнее гипотезы де Бройля. Обоснованием такого «вывода» является тот факт, что решение уравнения приводит к значениям энергии Е, точно соответствующим найденным экспериментально из атомных спектров

Остановимся на смысле символа  в уравнении Шредингера. Поскольку  является трехмерным аналогом А (амплитуды плоской волны),  рассматривается как амплитудная функция. Самой функции  нельзя приписать физический смысл, но такой смысл имеет величина *, которая, как можно показать, пропорциональна вероятности нахождения электрона в данном положении (* — это функция, комплексно сопряженная с ). Величина ^*d передает вероятность нахождения электрона в элементе объема d. Если  является действительной функцией, * переходит в ².