Решение логических задач с помощью табличного метода

1) В школе разбито окно. Один свидетель говорит: «Если виновен Борис, то виновен и Дмитрий», другой: «Если виновен Дмитрий, то виновен и Борис», а третий – «Виновен только один из них: либо Борис, либо Дмитрий». Могут ли они все трое лгать? Могут ли они все трое говорить правду? Для решения этой задачи достаточно построить совместную таблицу для показаний трех свидетелей. Пусть P означает, что виновен Борис, а Q – что виновен Дмитрий.

		1-й свидетель	2-й свидетель	3-й свидетель
P	Q	P→ Q	Q→ P	PÅQ
1	1	1	1	0
1	0	0	1	1
0	1	1	0	1
0	0	1	1	0

Из построенной таблицы видно, что свидетели не могут все втроем говорить правду, но не могут и все втроем лгать. Более того, оказывается, что даже двое свидетелей не могут вместе лгать – в каждой строке только одна формула является ложной, а две – истинными.

2) Три ученика, Саша, Коля и Вова, прогуляли информатику. Когда их спросили, кому пришла в голову эта идея, они ответили следующее:

Саша: «Я никогда не призывал к прогулу, это была идея Коли».

Коля: «Я никогда не предложил бы это первым, во всем виноват Вова».

Вова: «Эта идея пришла в голову Коле. Я просто пошел за компанию».

Учитель почувствовал, что двое учеников говорят правду наполовину, а один – лжет. Кто из учеников был инициатором прогула?

Решение: У каждого мальчика два высказывания, запишем их в более формальном виде:

Саша: 1. Это не Саша. 2. Это Коля.

Коля:1. Это не Коля. 2. Это Вова.

Вова: 1. Это Коля. 2. Это не Вова.

Теперь предположим, что зачинщик – Саша; составим таблицу, где отметим истинность каждого высказывания единицей, а ложность – нулем:

	Если это Саша	Если это Коля	Если это Вова
Саша	0 0
Коля	1 0
Вова	0 1

Этот вариант уже подходит, потому что Саша оба раза солгал, а остальные сказали один раз правду, а второй – нет;

На всякий случай проверяем остальные варианты

	Если это Саша	Если это Коля	Если это Вова
Саша	0 0	1 1	1 0
Коля	1 0	0 0	1 1
Вова	0 1	1 1	0 0

Таким образом, Саша первым предложил прогулять урок, ответ – С.

№3 Накануне олимпиады по математике ученики разных классов высказали следующие предположения по поводу победы своих представителей:

10 «А» Максим победит, Борис – займет второе место;

10 «Б» Борис – третий, Николай – первый;

10 «В» Максим – последний, а первый – Дмитрий.

Когда олимпиада закончилась, оказалось, что каждый из классов был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на олимпиаде заняли Дмитрий, Николай, Борис, Максим?

Решение: Запишем высказывания трех классов в форме таблицы (заголовок строки обозначает место на олимпиаде):

	A	B	C
1	Максим	Николай	Дмитрий
2	Борис
3		Борис
4			Максим

Считая, что два человека не могут оказаться на одном месте, начнем «раскручивать» эту таблицу с той строчки, где больше всего информации (в данном случае – с первой). Предположим, что Максим действительно занял первое место, как и сказал 10 «A»; в этом случае 10 «В» ошибся, поставив на первое место Дмитрия. Учитывая, что каждый один раз угадал, а второй ошибся, получается, что 10 «В» угадал, что Максим будет на четвертом месте. Но мы предположили, что Максим – на первом месте (а не на четвертом), следовательно, получили противоречие; это значит, что Максим все-таки не на первом месте. Таким образом, в первом прогнозе 10 «А» ошибся, это значит, что во втором он угадал, и Борис действительно занял второе место:

	A	B	C
1	Максим	Николай	Дмитрий
2	Борис
3		Борис
4			Максим

Так как Борис – второй, он не может быть на третьем месте, поэтому из прогноза 10 «Б» следует, что Николай – первый:

	A	B	C
1	Максим	Николай	Дмитрий
2	Борис
3		Борис
4			Максим

Если Николай на первом месте, там не может быть Дмитрий, поэтому из ответов 10 «В» (среди которых должен быть один верный, и один неверный), сразу находим, что Максим занял четвертое место:

	A	B	C
1	Максим	Николай	Дмитрий
2	Борис
3		Борис
4			Максим

Осталось только определиться с Дмитрием – ему досталось единственное «свободное» третье место; окончательный список победителей:

1. Николай 2. Борис 3. Дмитрий 4. Максим

С ПОМОЩЬЮ РАССУЖДЕНИЙ

1) Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: «Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша». Саша сказал: «Это был мой первый прогул этого предмета». Миша сказал: «Все, что говорит Коля, – правда». Директор понял, кто из них кто.Определите кто «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз».

Решение:

Во-первых, есть «точная» информация, которая не подвергается сомнению: все трое прогуляли урок астрономии в первый раз(*).

Запишем высказывания мальчиков:

Коля: 1. Я всегда прогуливаю астрономию, 2. Саша врет.

Саша: 1. Я в первый раз прогулял астрономию.

Миша: 1. Коля говорит правду.

Известно, что один из них все время лжет, второй – говорит правду, а третий говорит правду через раз (то есть, из двух его высказываний одно истинно, а второе – ложно; если у нас есть только одно высказывание «полу-лжеца», оно может быть как истинным, так и ложным). Сопоставив первое высказывание Коли и высказывание Саши с «точной» информацией (*), сразу определяем, то тут Коля соврал, а Саша сказал правду; это значит, что второе высказывание Коли – тоже неверно, поэтому мальчик Коля всегда лжет. Тогда один из оставшихся, Саша или Миша, говорит правду всегда, а второй – через раз

Мишино высказывание неверно, поскольку мы уже определили, что Коля лжет; это значит, что Миша не всегда говорит правду, он – «полу-лжец». Тогда получается, что Саша всегда правдив, и действительно, его высказывание верно, таким образом, верный ответ – Саша – правдив, Коля – лжец, Миша – «полу-лжец».

2) В состав инициативной группы класса входят Рома, Сергей и Виктор. На обсуждении распределения обязанностей с классным руководителем были высказаны предположения, что старостой будет назначен Рома, Сергей не будет заместителем механиком, а Виктор будет утвержден редактором, но старостой не будет. Позже выяснилось, что только одно из этих четырех утверждений оказалось верным. Перечислите, кто занял должности старосты, заместителя и редактора.

Решение: Запишем высказывания:

	Рома	Сергей	Виктор
1	староста
2		не заместитель
3			редактор
4			не староста

Сразу заметим, что высказывание 3 (Виктор – редактор) неверно, потому что иначе оказывается верным и высказывание 4, чего не может быть по условию (верно только одно высказывание)

Если Рома – староста (высказывание 1 верно), то остальные высказывания – неверны; поэтому Сергей – заместитель (из 2) и Виктор – не редактор (из 3), а староста; но тогда получается, что некому быть редактором и в классе 2 старосты; значит, это предположение неверно

Теперь предположим, что Сергей – не заместитель; отсюда следует, что Рома – не староста (из 1), а Виктор – староста (из 4) и не редактор (из 3); это может быть, если Рома – заместитель, а Сергей – редактор.

На всякий случай проверим последний вариант – предположим, что Виктор – не староста (высказывание 4 истинно, а остальные – ложны); сразу получаем, что Виктор – не редактор (из 3), Сергей – заместитель (из 2), а Рома – не староста (из 1); в этом случае два претендента на должность заместителя (Сергей и Виктор), а старосты нет вообще, поэтому это неверный вариант. Таким образом, правильный ответ – Виктор – староста, Рома – заместитель, а Сергей – редактор.

3) Преподаватель проверил работы трех учащихся, но не взял их с собой на занятия. Учащимся он сказал: вы все получили разные оценки:3, 4, 5. У Васильева не 4, у Сергеева не 5, а вот у Алексеева, по-моему 4. Впоследствии оказалось, что преподаватель, верно, высказался об оценке только одного учащегося. У кого какая оценка?

Решение:

Учащийся		I вариант (допустим)	II вариант (допустим)	III вариант (допустим)
Васильев	5 или 3	5 (+)	3 (+)	4 (-)
Сергеев	4 или 3	4 (+) противоречит условию	5 (-)	3 (+)
Алексеев	4	3 (-)	4(+) противоречит условию	5 (-)

Таким образом, Васильев — 4, Сергеев — 3, Алексеев — 5.