Соединения без повторений

При определении вида соединения удобно пользоваться следующей схемой (рис.2):

Рис. 2. Схема выбора вида соединения

Пусть дано множество М, состоящее из n элементов.

Определение. Перестановки – всевозможные упорядоченные множества, составленные из всех элементов данного множества. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Рn и находят по формуле

Р_n= n! (1),

где n!= 123 … n, 0!=1 по определению.

Пример. Сколько перестановок можно составить из трех букв а, в, с?

Решение: Р₃=123=6. Действительно: авс, вас, асв, сав, вса, сва.

Пример. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «треугольник»?

Решение: Т.к. все буквы в данном слове разные, т.е. нет повторений, то можно воспользоваться формулой (1): Р₁₁=11!=39916800.

Определение. Размещениями из n по m называются всевозможные упорядоченные подмножества, содержащие m элементов из данных n. Обозначаются и вычисляются по формуле:

(2)

Пример. Сколько можно составить четырехзначных чисел, содержащих различные цифры из 5 цифр.

Решение: Четырехзначное число – это упорядоченная последовательность цифр, т.е. имеем дело с размещениями без повторений:

=5432=120.

Пример. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами может быть составлено расписание на 1 день?

Решение: .

Определение. Сочетаниями из n по m называются всевозможные неупорядоченные подмножества данных n элементов, состоящие из m элементов. Для подсчета их числа используются следующие обозначение и формула:

(3)

Пример. Сколькими способами можно из 7 различных открыток выбрать три?

Решение: Совокупность трех открыток является неупорядоченным подмножеством семи открыток, поэтому имеем дело с сочетаниями:

.

Пример. Из группы в 25 человек нужно выбрать троих для работы на субботнике.

Решение: Если выбирать их последовательно, сначала первого, потом второго, потом третьего, то получим 25 * 24 * 23. Но так как нас не интересует порядок выбора, а только количество выбранных человек:

25!/(3!*22!) Соединения с повторениями

Определение. Перестановками с повторениями называются перестановки из n элементов, в каждую из которых входит n₁ элементов а, n₂ элементов b, …, n_k элементов l, где n=n₁+n₂+…+n_k. Число перестановок с повторениями вычисляется по формуле:

(4)

Пример. Сколькими способами можно переставить буквы в слове “математика”.

В слове “математика” есть повторяющиеся буквы: “м” – 2 раза, “а” – 3 раза, “т” – 2 раза, “е” – 1 раз, “и” – 1 раз, “к” – 1 раз. Порядок расположения элементов имеет значение (это очевидно, так как если переставить местами 2 буквы, то получатся разные слова) и все элементы используются, следовательно, это перестановка с повторениями.

Таким образом, в слове “математика” можно переставить буквы 151200 способами.

Определение. Сочетания из n элементов, в каждое из которых входит m элементов, причем один и тот же элемент может повторяться в каждом сочетании любое число раз, но не более m, называются сочетаниями с повторениями. Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле:

(5)

Пример. На почте продаются открытки 10 сортов. Сколько вариантов существует для покупки 12 открыток.

Порядок расположения элементов не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как открытки в наборе могут повторяться, то это сочетание с повторениями.

Таким образом, из 10 открыток можно выбрать набор из 12 штук 293930 способами.

Определение. Размещениями с повторениями из n элементов по k элементов называются упорядоченные множества, каждое из которых содержит k необязательно различных элементов из данного множества n элементов. Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

(6)

Пример. В стену здания вмонтированы 8 гнезд для флажков. В каждое гнездо вставляется либо голубой, либо красный флажок. Сколько различных случаев распределения флажков на здание.

Так как порядок расположения элементов важен и не все элементы используются в данном соединении, то это размещение. А так как всего 8 гнезд, а флажков 2 вида (голубой и красный), то они будут повторяться, т.е. это размещение с повторением.

Таким образом, существует 256 способов украсить здание с 8 гнездами флажками двух цветов.

Если имеются ограничения на количество разных предметов, которые можно помещать на позиции. В этом случае число размещений рассчитываться по формуле:

A = k₁ * k₂ * k₃ *...*k_n (5.7)

Пример. В эстафете 100, 200, 400, 800 метров на первую позицию тренер может выставить одного из 3 бегунов, на вторую - одного из 5, на третью - одного из 6, на четвертую - единственного бегуна (на каждую позицию выставляются разные бегуны). Сколько вариантов расстановки участников эстафетного забега может составить тренер?

В соответствии с формулой получаем, что число вариантов равно:

3 * 5 * 6 * 1 = 90.

Пример. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3?

Решение: На первое место в трехзначном числе можно выбрать любую цифру их трех (кроме нуля), после каждого такого выбора на второе место можно поставить любую цифру из оставшихся трех, на третье – из оставшихся двух. По правилу 2 получим: 332=18 чисел.