Лабораторная работа №3 мнк нелинейная функциональная зависимость

Пусть экспериментальные данные описываются произвольной функцией , содержащей произвольное число параметров b₁, b₂,…,которые подбираются так, чтобы функция наилучшим образом описывала рассматриваемый процесс.

Данную задачу также можно решать методом наименьших квадратов. Для этого по аналогии с рассмотренным выше линейным случаем, составляем сумму квадратов разностей значений y_i, являющихся результатом эксперимента, и функцией в точках x_i:

,

а затем подбирают параметры b₁, b₂, … так, чтобы эта сумма была наименьшей. Это значит, что рассматриваемая задача сводиться к исследованию функции нескольких переменных на минимум.

По аналогии исследования на локальный экстремум функции двух переменных составляем систему

или в развернутом виде

Данная система имеет столько уравнений, сколько неизвестных параметров содержит функция . В каждом конкретном случае исследуется вопрос о существовании решения системы и о существовании минимума функции [1].

В программном пакете MathCAD, используемом для решения математических, инженерных и экономических задач, существует универсальный метод подбора коэффициентов зависимости, который подходит для аппроксимации экспериментальных значений любой функции [2].

Задача 1. В результате эксперимента была определена некоторая табличная зависимость:

x	0	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5	4.0	4.5	5.0
y	12.00	10.10	11.58	17.40	30.68	53.60	87.78	136.90	202.50	287.00

Требуется подобрать функциональную зависимость вида .

Задача 2. В результате эксперимента была определена некоторая табличная зависимость:

x	0.5	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5	4.0	4.5	5.0
y	3.990	5.650	6.410	6.710	7.215	7.611	7.830	8.190	8.300

Требуется построить аналитическую зависимость вида .

Задача 3. В результате эксперимента была определена некоторая табличная зависимость:

x	0.0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5	4.0
y	2.310	2.899	3.534	4.412	5.578	6.920	8.699	10.690	13.390

Требуется построить аналитическую зависимость вида .

Лабораторная работа №4 расчет смесей сложного состава

Пусть для проведения эксперимента требуется приготовить смесь, содержащую m некоторых веществ. При этом необходимо установить, какое количество каждого компонента нужно взять, чтобы получить M кг смеси, содержащей b_i (i = 1, …, m) % данных веществ. Известно при этом, что для приготовления смеси имеется n компонентов, каждый j-й из которых содержит a_ij единиц i-го вещества (j = 1, …, n). Если обозначить через x_j количество j-го компонента, которое необходимо взять для приготовления нужной смеси, то сумма даст требуемое в смеси количество b_i вещества, т.е. , где (i = 1, …, m). Таким образом, процедура приготовления смеси, содержащей необходимое количество некоторого вещества, описывается системой линейных алгебраических уравнений.

Например, требуется приготовить нитрующую смесь из трех компонентов, содержащих воду, азотную и серную кислоты. Необходимо установить, какое количество каждого компонента необходимо взять, чтобы определить M кг смеси, содержащей b₁, b₂ и b₃, % соответственно H₂O, HNO₃ и H₂SO₄, если содержание воды, азотной и серной кислот в каждой компоненте известно и представлено в виде матрицы третьего порядка:

.

Для решения задачи необходимо решить систему уравнений:

Для нахождения величин x_i можно воспользоваться, например, правилом Крамера.

Правило Крамера заключается в следующем. Если определитель матрицы системы из n уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение x₁, x₂, …, x_n, определяемое по формулам Крамера , где – определитель матрицы, полученной из матрицы системы A заменой i-го столбца столбцом свободных членов b. Тогда алгоритм решения поставленной задачи следующий:

1. Представить систему в матричном виде, то есть сформировать матрицу системы A и вектор правых частей b.

2. Вычислить главный определитель A.

3. Сформировать вспомогательные матрицы для вычисления определителей .

4. Вычислить определители .

5. Найти решение системы по формуле .

Если определитель матрицы системы равен нулю, это не означает, что система не имеет решений, возможно, ее нельзя решить по формулам Крамера.

Метод обратной матрицы для системы из n линейных уравнений с n неизвестными , при условии, что определитель матрицы A не равен нулю, единственное решение можно представить в виде . Таким образом, для решения системы линейных уравнений данным методом надо:

1. Сформировать матрицу коэффициентов и вектор свободных членов заданной системы.

2. Решить систему, подставить вектор неизвестных как произведение матрицы, обратной матрице системы и вектора свободных членов.

Решение системы методом Гаусса основано на том, что от заданной системы переходят к эквивалентной, которая решается проще, чем исходная. Метод Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап – это прямой ход, в результате которого расширенная матрица системы путем элементарных преобразований (перестановкой уравнений системы, умножением уравнений на число, отличное от нуля, и сложением уравнений) приводится к ступенчатому виду:

На втором этапе (обратный ход) ступенчатую матрицу преобразовывают так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица:

.

Последний, (n + 1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы линейных уравнений.

Все вышеперечисленные методы решаются с помощью программы MathCAD [2, 3].

Задача 1. Определение состава нитрующей смеси. Пусть требуется приготовить 4250 кг нитрующей смеси следующего состава: воды – 22%, азотной кислоты – 16%, серной кислоты – 62% из меланжа: H₂O – 5%, HNO₃ – 85% и H₂SO₄ – 10%; из олеума: H₂O – 0%, HNO₃ – 0% и H₂SO₄ – 104%; из отработанной кислоты – H₂O – 30%, HNO₃ – 0% и H₂SO₄ – 70%. Найти расход кислот идущих на приготовление данной смеси.

Задача 2. Определение состава смеси по данным спектрофотометрических измерений. Пусть имеется смесь n-ксилола, m-ксилола, o-ксилола и этилбензола, для которых известны значения молярных коэффициентов поглощения на соответствующих длинах волн ₁, ₂, и (см. табл.). Толщина спектрофотометрической кюветы 1 см. Исходя из данных об оптической плотности для смеси на указанных длинах волн, найти концентрации компонентов смеси (соответственно c₁, c₂, c₃ и c₄).

	Молярный коэффициент поглощения на длине волны , л/(мольсм)				Оптическая плотность
	n-ксилол	m-ксилол	o-ксилол	этилбензол
1 2 3 4	1.5020 0.0261 0.0340 0.0340	0.0514 1.1516 0.0355 0.0684	0 0 2.5320 0	0.0408 0.0820 0.2933 0.3470	0.10130 0.09943 0.21941 0.03396