МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА

--------------------------------------

ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ И ТЕХНОЛОГИИ СЕРВИСА

КАФЕДРА ТЕХНОЛОГИИ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ И ОТДЕЛОЧНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Борисевич С.С., Янборисов В.М.

Методы решения научно-технических задач методические указания по выполнению лабораторных работ

Уфа – 2012

Составители: Борисевич С.С., Янборисов В.М.

УДК 571.64

Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Методы решения научно-технических задач на ЭВМ» / С.С. Борисевич, В.М. Янборисов; Уфимская государственная академия экономики и сервиса, Уфа, 2012, 16 с.

Методические указания предназначены для студентов специальности 240202.65 «Химическая технология и оборудование отделочного производства» и служат основой для проведения лабораторных работ по дисциплине «Методы решения научно-технических задач на ЭВМ», включают краткое пояснение по теме, основные задания и порядок выполнения лабораторных работ.

Методическое руководство может оказаться полезным для студентов и аспирантов, а также преподавателям ВУЗов, работающим по данной тематике.

Печатается по решению кафедры «Технологии полимерных материалов и отделочного производства», протокол № __ от ___.06.2012 г.

Рецензент:

М.Р. Талипов, канд. хим. наук, c.н.с. ИОХ УНЦ РАН

 Борисевич С.С., Янборисов В.М. 2012

Уфимская государственная академия экономики и сервиса

Содержание

СОДЕРЖАНИЕ 3

ВВЕДЕНИЕ 4

Лабораторная работа №1 4

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ХИМИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА 4

ЗАДАЧИ 13

Лабораторная работа №2 14

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 14

Лабораторная работа №3 19

МНК НЕЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 19

Лабораторная работа №4 20

РАСЧЕТ СМЕСЕЙ СЛОЖНОГО СОСТАВА 20

Лабораторная работа №5 23

ОДУ В ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКЕ 23

Лабораторная работа №6 24

ПРОСТАЯ ПЕРЕГОНКА 24

ПРИЛОЖЕНИЯ 27

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 29

Введение

Всякий исследователь должен знать, что ценность полученных результатов химического эксперимента будет незначительна, если не указана погрешность, с которой выполнен эксперимент. Как правило, этот весьма важный аспект упускается студентами при выполнении ими лабораторных и/или расчетно-графических работ. Тем более, что грамотная обработка результата эксперимента не менее важна, чем точность проведения самого эксперимента. В данных методических указаниях приведены основные примеры статистической обработки экспериментальных данных.

Лабораторная работа №1 обработка результатов химического эксперимента

Известно, что процесс любого химического анализа подвержен воздействию ряда случайных факторов, и поэтому результат эксперимента должен носить вероятностный характер. Следовательно, существует некоторая величина вероятности , которая означает, что ошибка определения x не превышает некоторого предельного (критического) значения x_кр. Эта величина  называется уровнем значимости. Основанием для выбора того или иного значения  чаще всего служат соображения практического характера, с учетом которых значение уровня значимости вы­бирают из интервала [0,001; 0,01].

Предположим, что в результате химического эксперимента при определении концентраций некого вещества (x₁, x₂, …, x_n) обнаружены одно или несколько значений x_k, x_m, … (k, m  n), которые сильно отличаются от среднего значения . Возможно, эти результаты могут быть следствием ошибки. Тогда закономерна постановка статистической задачи, в какой мере появление отдельных результатов в выборке оправдано случайным характером распределения ошибок? Ответ на этот вопрос зависит от двух факторов: от характера распределе­ния значений выборки случайных величин (нормальное распределение, распределение Стьюдента и т. п.) и от выбора уровня значимости  [1].

Задача 1. Выбраковка результатов химического анализа. По результатам параллельных измерений концентраций йода в растворе получили следующие значения для шести проб: {1,75; 1,80; 1,99; 1,70; 1,85; 1,37}. Известно среднее квадратичное отклонение  = 0,07. Найти среднее значение этой выборки и, задав уровень значимости α = 0,003, определить, какие из значений выборки подлежат выбраковке.

Решение: Данную задачу, целесообразно решать с помощью программы Excel, которая имеет все необходимые встроенные функции. Тогда решение можно разделить на следующие этапы: 1) поиск среднего значения, с использованием встроенной функции в Excel: «=СРЗНАЧ(число1;число2;…)», т.е.

.

Обратите внимание на рис.1: разделителем между целыми и десятичными знаками является запятая.

Рис. 1

2) Так как уровень значимости равен 0,003, то доверительная вероятность P будет равна 1 – 0,003 = 0,997. При такой доверительной вероятности можно воспользоваться правилом трех сигм и в качестве оценки взять 3 = 30,07 = 0,21. Это значит, что для любого значения выборки должно выполняться:

т.е.

Следовательно, выбросами можно считать те значения выборки, для которых нарушается последнее неравенство. В программе Excel проверяется условие по функции «=abs($A$7 - Ai)», где «abs()» - функция, возврата модуля (абсолютную величину) числа. Абсолютная величина числа  — это число без знака; «$A$7» – номер ячейки, в которой рассчитано среднее значение, Ai – номер ячейки в которой занесено i-е значение эксперимента. Обратите внимание на ячейку «B1», в которой занесена формула (рис.2). Красным выделено среднее значение выборки.

Рис. 2

Таким образом, должны быть выбракованы два значения: x₃ = 1,99 и x₆ = 1,37. В этом случае первоначальное среднее значение следует заменить на .

Результаты вычислений с помощью программы Excel представлены на рис.3. Напомню, что в столбце «А» занесены значения эксперимента, в столбце «B» представлен расчет отклонений от условия выбраковки.

Рис. 3

Задача 2: при определении концентрации вещества получены следующие результаты x_i для 10 параллельных проб {5,53; 5,50; 5,43; 5,38; 5,79; 5,48; 5,43; 5,75; 5,53; 5,38}. Провести выбраковку результатов анализа, задав уровень значимости α = 0,05.

Решение: Найдем сначала среднее значение, использую программу Excel ₁₀ = 5,49 и вычислим ∆x_i. Результаты расчетов представлены на рис.4. Затем вычислим выборочную дисперсию (рис.5 ячейка «A13»):

_{и среднее квадратичное отклонение s* = 1,06∙10}^-1 _{(рис.5 ячейка «A15»). Задавшись уровнем значимости α = 0,05 при объеме выборки n = 10, найдем (см. приложение 1) tкр = 2,26. Тогда ∆xi = tкр∙s* = 2,26∙1,06∙10}^-1 _{= 0,24.}

Рис. 4

Следовательно, все значения x_i, лежащие за пределами интервала

или (5,25; 5,73)

подлежат выбраковке. К числу таких значений принадлежит результат x₈ = 5,75. Значит, этот результат не следует принимать во внимание при вычислении среднего значения и выборочной дисперсии (рис.6). Поэтому оценки для среднего, выборочной дисперсии и среднего квадратичного отклонения изменяться (рис.6, ячейки «A15»−«A17»).

Рис. 5

Рис. 6

Иногда на практике требуется сопоставить точность приборов или оценить равносильность методов. При этом предпочтение отдается тому объекту, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов исследования, т.е. наименьшую дисперсию. Таким образом, возникает задача сравнения двух дисперсий. По исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости проверяют основную гипотезу. В качестве критерия проверки принимают отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е. случайную величину: , которая обладает распределением Фишера-Снедекора с соответствующими степенями свободы f₁ = n₁ – 1 и f₂ = n₂ – 1. По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (приложение 2) с учетом заданного уровня значимости  и числам степеней свободы f₁ и f₂ (где f₁ – число степеней свободы большей исправленной дисперсии) найти критическую точку F_кр. Если F_набл < F_кр – нет оснований отвергать основную гипотезу. Если F_набл > F_кр – основную гипотезу отвергают.

Задача 3. Сравнение дисперсий нормальной генеральной совокупности. Содержание брома в растворе определяли двумя различными методами: титрованием и фотометрическим методом. Результаты анализа сведены в таблицу:

Метод	Концентрация йода (мМ) по результатам параллельных измерений
Титрование	15,2	16,3	16,9	–
Фотометрия	16,5	15,9	16,6	15,8

Сравнить указанные методы с точки зрения точности результатов, используя приложение 2.

Решение: Вначале на основании приведенной таблицы определим дисперсии воспроизводимости для параллельных измерений:

(для первого метода при f₁ = 2)

(для второго метода при f₂ = 3)

Для оценки значимости различия между дисперсиями найдем дисперсионное отношение

и сравним его с табличным значением F_кр для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы f₁ = 2 и f₂ = 3: F_кр = 9,6 (см. приложение 2). Результаты расчетов в программе Excel представлены на рис.7.

Рис. 7

Поскольку F_набл < F_кр, то можно сделать вывод, что полученные экспериментальные данные не позволяют считать точность использованных методов значимо различной.

Существует еще один критерий основной проверки гипотезы, при которой требуется определить значение случайной величины:

,

которая, при справедливости основной гипотезы, обладает распределением Стьюдента со степенями свободы f = n + m – 2. Определение истинности основной теории находят путем сравнения случайной величины T с критическим значением распределения Стьюдента t_кр. Если T_набл < t_кр – нет оснований отвергать основную гипотезу, если T_набл > t_кр – основную гипотезу отвергают.

Задача 4. Сравнение двух средних нормальной генеральной совокупности. Содержание азота в образце (x %) определяли двумя различными методами. Результаты измерения сведены в таблицу:

Метод	Результаты параллельных измерений
I	9,29	9,38	9,35	9,43	9,36
II	9,53	9,48	9,61	9,68	9,57

Проверить, обусловлено ли различие между полученными средними значениями только случайными ошибками.

Решение: Так как дисперсии генеральных совокупностей неизвестны, вычислим их по выборке

и выдвинем теорию об их равенстве.

Для этого вычислим F_набл = 2,29 и сравним его с табличным значением F_кр с уровнем значимости α = 0,05 и числа степеней свободы f₁ = f₂ = 3: F_кр = 9,28 (см. приложение 2).

Неравенство F_набл = 2,29 < F_кр = 9,28 свидетельствует об отсутствии значимого различия между дисперсиями обоих методов.

Поэтому средняя квадратичная ошибка измерений может быть оценена следующим образом:

,

где n₁ и n₂ – число параллельных измерений в каждой серии.

Отсюда можно рассчитать случайную величину T по формуле:

и сравнить ее с табличным значением распределения Стьюдента t(P = 0,95; f = 6) = 2,45 (см. приложение 1). Поскольку T = 3,95 > t = 2,45, то различия между обоими средними значениями оказываются значимыми. Процесс вычисления в программе представлен на рис. 8.

Рис. 8

Таким образом, средние значения x различаются сильнее, чем это допустимо с точки зрения возможной случайной ошибки внутри обеих серий выполненных измерений, и, по крайней мере, одному из использованных методов присуща систематическая погрешность.

ЗАДАЧИ

1. Пусть из генеральной совокупности, обладающей нормальным распределением и известным средним квадратичным отклонением  = 0,07, произведена выборка объемом n. Найти среднее значение по этой выборке и, выбрав уровень значимость α = 0,003, определить какие значения выборки подлежать выбраковке.

В I	2,73	2,80	2,99	2,70	2,85	2,37	2,40	2,41
В II	5,26	5,28	5,28	5,30	5,39	5,27	5,27	5,28
В III	10,1	10,1	10,3	9,6	9,8	10,8	10,3	10,2

2. При определении концентрации проб вещества получены следующие результаты x_i для 10 параллельных проб. Провести выбраковку результатов анализа, задав уровень значимости α = 0,05.

В I	15,2	15,3	15,6	15,5	15,5	14,9	14,8	15,2	15,3	15,4
В II	21,2	21,3	21,0	21,0	21,5	21,5	21,0	21,3	21,4	19,8
В III	66,5	66,8	,\66,3	66,3	66,8	68,0	66,5	66,7	66,5	66,5

3. Содержание брома в растворе определяли двумя различными методами: титрованием и фотометрическим методом. Результаты анализа сведены в таблицу:

Вариант	Метод	Концентрация брома (мМ) по результатам параллельных измерений
I	Титрование	12,5	12,6	12,8	12,8
	Фотометрия	12,1	12,1	12,0	11,9
II	Титрование	18,5	18,5	18,6	18,7
	Фотометрия	17,9	17,9	17,8	18,0
III	Титрование	22,1	22,5	22,1	22,4
	Фотометрия	23,0	23,0	23,1	23,2

Сравнить указанные методы с точки зрения точности результатов, используя приложение 2.

4. Содержание азота в образце (x %) определяли двумя различными методами. Результаты измерения сведены в таблицу:

Вариант	Метод	Результаты параллельных измерений
I	I	9,61	9,82	9,82	9,75	9,75
	II	10,01	10,05	10,05	10,06	10,04
II	I	25,3	25,3	25,4	26,0	25,5
	II	24,5	24,5	24,6	24,9	24,6
III	I	1,2	1,3	1,3	1,3	1,3
	II	0,9	0,9	0,8	0,7	0,8

Проверить, обусловлено ли различие между полученными средними значениями только случайными ошибками.