70% Продукции объединения высшего сорта. Какова вероятность того, что среди 1000 изделий этого объединения высшего сорта будет не менее 740 и не более 760 изделий?

Задача 9

Ошибка измерения подчинена нормальному закону. Математическое ожидание этой ошибки равно 5 м, а среднее квадратическое отклонение 10 м. Найти вероятность того, что измеренное значение дальности будет отклоняться от истинного не более,чем на 15 м?

Задача 10

Случайное событие произошло 320 раз при 400 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.9 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 12 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.7 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.75 лежит среднее квадратическое X.

27.12 26.40 5.79 23.23 22.18 45.03 11.43 44.05

9.95 39.76 35.60 31.45

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

24.35 38.57 46.00 38.56 55.95 47.10 16.60 35.64 58.92 38.99

52.12 22.31 42.44 34.90 25.71 17.03 55.62 20.06 61.54 59.48

25.85 38.35 12.03 16.85 18.77 33.38 31.30 46.34 10.61 23.20

15.67 42.14 23.47 51.42 23.15 31.94 37.05 31.91 29.24 27.23

28.57 15.22 45.80 31.14 53.13 25.98 45.51 28.09 41.67 28.66

a = 34.11 s = 13.552

ВАРИАНТ N 53

Задача 1

Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат - общее число подбрасываний. События:

A = {герб выпал при третьем подбрасывании},

B = {герб выпал не ранее чем при третьем подбрасывании}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующее указанным событиям.

Задача 2

Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлеченного жетона, не содержит цифры 5.

Задача 3

У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом N 1, и 4 детали изготовленных заводом N 2. Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом N 1.

Задача 4

Группе студентов для прохождения производственной практики выделено 30 мест: 15 - в Туле, 8 - во Владимире, 7 - в Калуге. Какова вероятность того, что студент и студентка, которые в скором времени собираются справить свадьбу, будут посланы для прохождения практики в один и тот же город, если декан ничего не знает об их семейных делах?

Задача 5

При исследовании больного имеется подозрение на одно из трех заболеваний: А1, А2, А3. Их вероятности в данных условиях равны соответственно

Р1 = 1/2; Р2 = 1/6; Р3 = 1/3.

Для уточнения диагноза назначен некоторый анализ, дающий положительный результат с вероятностью 0.1 в случае заболевания А1, с вероятностью 0.2 в случае заболевания А2, и с вероятностью 0.9 в случае заболевания А3. Анализ был проведен пять раз и дал четыре раза положительный результат и один раз отрицательный. Требуется найти вероятность каждого

заболевания после анализа.

Задача 6

В результате наблюдений, продолжавшихся многие десятки лет, найдено, что на каждую тысячу новорожденных приходится в среднем 515 мальчиков и 485 девочек. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек.

Задача 7

У дежурного гостиницы в кармане 8 разных ключей от разных комнат. Вынув наугад ключ, он пробует открыть дверь ближайшей комнаты. Сколько раз в среднем ему придется пробовать открывать таким образом комнаты, если проверенный ключ кладется обратно в карман?

Задача 8

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 раз и не более 80 раз.

Задача 9

Велосипедист едет по шоссе стараясь держаться в 1 м от его края. Среднее квадратическое отклонение при этом равно 30 см. Впереди на дороге имеется незаметная яма, правая сторона которой расположена в 125 см от края шоссе.

____________________край шоссе______________________

‹ ‹

‹ ‹ 1 м (в среднем)

‹125 см ‹

‹ <==== - велосипедист

¦¦¦

¦¦¦¦¦¦

¦¦¦ямদ

¦¦¦¦¦¦

Найти вероятность того, что велосипедист не попадет в яму.

Задача 10

Случайное событие произошло 1200 раз при 6000 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.98 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 17 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.9 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит среднее квадратическое X.

61.09 69.91 65.20 48.39 69.74 88.44 58.32 19.92

78.05 69.45 36.85 67.52 58.57 59.56 66.80 94.64 43.38

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

47.05 47.11 56.71 41.26 47.41 48.83 46.40 39.03 39.44 41.83

46.89 49.25 35.99 52.84 44.67 39.60 53.40 43.33 39.75 58.77

49.33 49.27 49.36 33.60 37.05 51.72 50.53 39.86 49.25 38.58

39.49 51.08 55.48 34.85 44.79 42.17 41.15 41.86 49.32 46.61

40.04 48.95 44.23 48.26 61.05 43.26 36.45 34.87 57.60 47.41

a = 45.54 s = 6.586

ВАРИАНТ N 54

Задача 1

Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат - появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События:

A = {герб выпал ровно один раз},

B = {ни разу не выпала цифра},

C = {выпало больше гербов,чем цифр},

D = {герб выпал не менее, чем два раза подряд}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

Задача 2

На каждой их 6 одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а,т,м,р,с,о. Карточки тщательно перемешены. Найти вероятность того, что на 4, вынутых по одной и расположенных "в одну линию" карточках, можно будет прочесть слово "трос".

Задача 3

В двух ящиках находятся детали: в первом - 10 (из них 3 стандартных), во втором - 15 (их них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Задача 4

При переливании крови надо учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему 4 группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со 2 или 3 группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с 1 группой крови можно перелить только кровь первой

группы. Среди населения 33,7 % имеют первую, 37,5 % - вторую, 20,9% - третью и 7,9 % - четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

Задача 5

Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут 5 дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет около 0.6; если по второй - 0.3; если по третьей - 0.2; если по четвертой - 0.1; если по пятой - 0.1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

Задача 6

Вероятность того , что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не больше определенного числа литров в сутки), равна 3/4. Найти вероятность того, что ближайшие 6 дней расход воды будет нормальным в течение трех, четырех или пяти дней. (Ответ состоит из одного числа).

Задача 7

Известно, что 1/4 часть рабочих некоторой отрасли промышленности имеет среднее образование. Для некоторого обследования на удачу выбрано 2000 рабочих. Найти:

1) математическое ожидание числа рабочих со средним образованием среди выбранных 2000;

2) вероятность того, что истинное (фактическое) число таких рабочих отклонится от этого ожидаемого не более чем на 1,6 %.

Задача 8

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 раз и не более 80 раз.

Задача 9

Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний р = 0.75 . Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0.001.

Задача 10

Случайное событие произошло 1500 раз при 4000 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 24 значения нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.94

27.54 27.67 36.05 21.06 25.24 35.63 29.09 23.73

27.95 31.90 28.57 30.85 24.67 24.65 22.29 26.21

30.50 42.80 21.55 32.70 33.70 38.10 29.34 33.31

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

30.66 19.65 16.60 44.14 42.95 10.06 30.34 43.35 28.54 10.57

32.93 45.25 52.82 36.46 36.30 8.91 55.12 10.55 39.94 22.22

19.53 24.87 49.50 31.47 24.53 35.83 52.70 26.04 40.46 40.74

31.29 23.34 25.02 54.54 35.27 11.24 28.55 44.07 31.12 31.21

20.98 29.21 21.85 35.65 16.81 36.77 19.65 43.03 26.47 37.95

a = 31.34 s = 12.225

ВАРИАНТ N 55

Задача 1

Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат - общее число подбрасываний. События:

A = {герб выпал при третьем подбрасывании},

B = {герб выпал не ранее чем при третьем подбрасывании}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующее указанным событиям.

Задача 2

Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность того, что все три билета стоят вместе семь рублей.

Задача 3

Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0.8, а вторым стрелком - 0.6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

Задача 4

Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой.

Задача 5

Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса - 4, из второй - 6, из третьей - 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0.9, 0.7, 0.8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал студент?

Задача 5

Два зенитных орудия ведут огонь по одному и тому же самолету. Вероятность попадания выстрелом из первого орудия примерно равна 0.2, из второго - 0.6. Первым залпом в самолет попали только из одного орудия. Какова вероятность того, что промахнулся расчет первого орудия?

Задача 6

Случайно встреченное лицо с вероятностью, близкой к 0.2, может оказаться брюнетом, с вероятностью 0.3 - шатеном, с вероятностью 0.4 - блондином. Какова вероятность того, что среди шести случайно встреченных лиц:

а) не меньше трех шатенов;

б) хотя бы два блондина или брюнета?

Задача 7

В одном физическом эксперименте производятся наблюдения за частицами определенного типа. При одних условиях за промежуток времени определенной длины в среднем появляется 60 частиц и каждая из них с вероятностью 0,7 имеет скорость большую, чем некое число V. При других условиях за тот же промежуток времени в среднем появляется лишь 50 частиц, но у каждой из них вероятность иметь скорость, превышающую V, равна 0,8. Для каких условий опыта ожидаемое число частиц со скоростью, превосходящей V, больше?

Задача 8

По данным телевизионного ателье, в течение гарантийного срока выходит из строя в среднем 12% кинескопов. Какова вероятность того, что из 200 наугад выбранных кинескопов гарантийный срок проработают не менее 160 и не более 174?

Задача 9

Производительность лесопилки при наличии материала подчинена нормальному закону и равна в среднем 500 кубометров леса в день с дисперсией 160. Какова вероятность, что в случайно выбранный день при наличии материала лесопилка напилит не больше 490 кубометров?

Задача 10

Случайное событие произошло 1500 раз при 4000 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 8 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.9 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.97 лежит среднее квадратическое X.

49.47 45.77 45.81 50.08 58.25 50.29 58.13 54.71

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

39.58 42.15 40.16 38.00 38.91 48.10 41.65 38.87 39.41 38.21

41.75 44.53 43.33 42.11 43.55 41.62 41.30 50.17 42.59 40.94

34.81 41.32 42.25 49.15 39.17 39.15 41.61 44.82 43.07 45.01

43.55 48.85 43.97 44.35 40.63 42.89 34.87 46.54 39.74 45.74

42.98 38.86 46.01 45.67 42.91 34.96 43.05 48.31 38.49 42.70

a = 42.25 s = 3.539

ВАРИАНТ N 56

Задача 1

Два шахматиста играют две партии. Событие А - первый игрок выиграет обе партии, В - второй игрок выиграет обе партии, C - первая партия закончится вничью, D - вторая партия закончится вничью, E - обе партии закончатся вничью, F - матч закончится вничью, G - ровно одна из партий закончится вничью, H - в матче не случится ни одной ничьей. Найдите то (единственное) сочетание из перечисленных событий A,B,C,D,E,F,G, которое образует полную группу событий.

Задача 2

Пассажир ждет автобус N 20 или N 32 или любой троллейбус возле остановки, у которой останавливаются автобусы четырех маршрутов: NN 20,32, 77, 80 и троллейбусы. Считая, что автобусы всех маршрутов появляются в среднем одинаково часто, а троллейбусов столько же, сколько всех автобусов вместе, найти вероятность того, что пассажир уедет в троллейбусе.

Задача 3

Из колоды карт (54 карты) наудачу извлекают три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.

Задача 4

Для посева заготовлены семена пшеницы сорта 1, содержащие небольшое количество примесей других сортов 2,3,4. Возьмем одно из этих зерен. Событие, состоящие в том, что это зерно сорта 1, обозначим через А1, что оно сорта 2 - через А2, сорта 3 - через А3 и, наконец, сорта 4 - через А4. Известно, что вероятность того, что наудачу взятое зерно окажется того или иного сорта, равны

Р(А1) = 0.96; Р(А2) = 0.01; Р(А3) = 0.02; Р(А4) = 0.01.

Вероятность того, что из зерна вырастает колос, содержащий не менее 50 зерен, равна:

1) 0.50 из зерна 1 сорта ,

2) 0.15 из зерна 2 сорта ,

3) 0.20 из зерна 3 сорта ,

4) 0.05 из зерна 4 сорта ,

Требуется найти безусловную вероятность того, что колос

будет иметь не менее 50 зерен.

Задача 5

Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса - 4, из второй - 6, из третьей - 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0.9, 0.7, 0.8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал студент?

Задача 6

Случайно встреченное лицо с вероятностью, близкой к 0.2, может оказаться брюнетом, с вероятностью 0.3 - шатеном, с вероятностью 0.4 - блондином. Какова вероятность того, что среди шести случайно встреченных лиц:

а) не меньше трех шатенов;

б) хотя бы два блондина или брюнета?

Задача 7

В одном физическом эксперименте производятся наблюдения за частицами определенного типа. При одних условиях за промежуток времени определенной длины в среднем появляется 60 частиц и каждая из них с вероятностью 0,7 имеет скорость большую, чем некое число V. При других условиях за тот же промежуток времени в среднем появляется лишь 50 частиц, но у каждой из них вероятность иметь скорость, превышающую V, равна 0,8. Для каких условий опыта ожидаемое число частиц со скоростью, превосходящей V, больше?

Задача 8

По данным телевизионного ателье, в течение гарантийного срока выходит из строя в среднем 12% кинескопов. Какова вероятность того, что из 200 наугад выбранных кинескопов гарантийный срок проработают не менее 160 и не более 174?

Задача 9

Производительность лесопилки при наличии материала подчинена нормальному закону и равна в среднем 500 кубометров леса в день с дисперсией 160. Какова вероятность, что в случайно выбранный день при наличии материала лесопилка напилит не больше 490 кубометров?

Задача 10

Случайное событие произошло 1500 раз при 4000 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 8 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.9 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.97 лежит среднее квадратическое X.

49.47 45.77 45.81 50.08 58.25 50.29 58.13 54.71

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

39.58 42.15 40.16 38.00 38.91 48.10 41.65 38.87 39.41 38.21

41.75 44.53 43.33 42.11 43.55 41.62 41.30 50.17 42.59 40.94

34.81 41.32 42.25 49.15 39.17 39.15 41.61 44.82 43.07 45.01

43.55 48.85 43.97 44.35 40.63 42.89 34.87 46.54 39.74 45.74

42.98 38.86 46.01 45.67 42.91 34.96 43.05 48.31 38.49 42.70

a = 42.25 s = 3.539

ВАРИАНТ N 57

Задача 1

Два шахматиста играют две партии. Событие А - первый игрок выиграет обе партии, В - второй игрок выиграет обе партии, C - первая партия закончится вничью, D - вторая партия закончится вничью, E - обе партии закончатся вничью, F - матч закончится вничью, G - ровно одна из партий закончится вничью, H - в матче не случится ни одной ничьей. Найдите то (единственное) сочетание из перечисленных событий A,B,C,D,E,F,G, которое образует полную группу событий.

Задача 2

Из колоды в 36 карт наудачу извлекают три карты. Определить вероятность того, что сумма очков этих карт равна 21, если валет составляет два очка, дама - три, король - четыре, туз - одиннадцать, а остальные карты - соответственно шесть, семь, восемь, девять и десять очков.

Задача 3

Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной их костей.

Задача 4

Библиотека состоит из 10 различных книг, причем 5 книг стоят по 40 рублей каждая, 3 книги по 10 рублей, а 2 книги по 30 рублей. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 50 рублей.

Задача 5

Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут 5 дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет около 0.6; если по второй - 0.3; если по третьей - 0.2; если по четвертой - 0.1; если по пятой - 0.1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

Задача 6

В результате наблюдений, продолжавшихся многие десятки лет, найдено,что на каждую тысячу новорожденных приходится в среднем 515 мальчиков и 485 девочек. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше

двух девочек.

Задача 7

В одном физическом эксперименте производятся наблюдения за частицами определенного типа. При одних условиях за промежуток времени определенной длины в среднем появляется 60 частиц и каждая из них с вероятностью 0,7 имеет скорость большую, чем некое число V. При других условиях за тот же промежуток времени в среднем появляется лишь 50 частиц, но у каждой из них вероятность иметь скорость, превышающую V, равна 0,8. Для каких условий опыта ожидаемое число частиц со скоростью, превосходящей V, больше?

Задача 8

В кинотеатре 500 мест. Имеется 2 билетные кассы, которые распределяют между собой эти места поровну. Перед очередным сеансом билеты продаются зрителям, которые выбирают любую из этих касс с одинаковой вероятностью. В среднем один раз из 10 случается такая ситуация, когда в одной кассе билеты уже кончились, а в другой - нет. Сколько посетителей бывает в кинотеатре на одном сеансе? (Считать, что зрителей на всех сеансах бывает одно и то же число и что они приходят в кинотеатр поодиночке, независимо друг от друга).

Задача 9

Ошибка измерения подчинена нормальному закону. Математическое ожидание этой ошибки равно 5 м, а среднее квадратическое отклонение 10 м. Найти вероятность того, что измеренное значение дальности будет отклоняться от истинного не более, чем на 15 м?

Задача 10

Случайное событие произошло 350 раз при 500 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.95 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 16 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.92 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.95 лежит среднее квадратическое X.

53.64 54.05 49.07 46.01 55.33 42.00 51.96 60.15

54.71 44.28 48.83 57.09 37.69 53.61 48.04 55.58

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

45.33 44.23 5.61 10.23 63.38 8.47 19.97 30.29 6.30 3.95

57.46 33.48 17.36 1.71 23.79 13.89 29.86 4.93 3.26 7.32

22.90 61.90 10.58 -17.99 32.78 44.94 10.64 28.76 3.39 32.04

49.49 13.65 30.34 4.71 15.28 32.30 15.31 33.54 33.26 44.27

38.24 10.03 -0.66 26.59 3.83 23.02 29.92 8.28 5.93 19.93

a = 21.96 s = 17.680

ВАРИАНТ N 58

Задача 1

Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат - появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События:

A = {герб выпал ровно один раз},

B = {ни разу не выпала цифра},

C = {выпало больше гербов,чем цифр},

D = {герб выпал не менее, чем два раза подряд}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

Задача 2

На каждой их 6 одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а,т,м,р,с,о. Карточки тщательно перемешены. Найти вероятность того, что на 4, вынутых по одной и расположенных "в одну линию" карточках, можно будет прочесть слово "трос".

Задача 3

Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом.

Задача 4

Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом N1, и две коробки деталей, изготовленных заводом N2. Вероятность того, что деталь завода N1 стандартна равна 0.8, а завода N2 - 0.9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

Задача 5

Вероятность того, что в некотором производстве изделие удовлетворяет стандарту, равна 0.96. Предлагается упрощенная система испытаний (необходимость в упрощенном контроле встречается на практике весьма часто. Например, если бы при выпуске в свет электрических лампочек все они подвергались проверке на способность их горения в течение не менее чем, скажем, 1200 часов, то потребитель получал бы лишь одни перегоревшие или почти перегоревшие лампочки. Приходится испытание на срок горения заменить другим испытанием, например проверкой лампочки на зажигаемость.), которая для изделий, удовлетворяющих стандарту, дает положительный результат с вероятностью 0.98 (иногда хорошая лампочка не загорается из-за того, что ее небрежно вкрутили), а для изделий, ему не удовлетворяющих, - лишь с вероятностью 0.05. Какова вероятность, что изделие, выдержавшие упрощенное испытание, удовлетворяет стандарту?

Задача 6

В квартире 8 электролампочек. Для каждой лампочки вероятность того, что она останется исправной в течение года, примерно равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить 5 лампочек?

Задача 7

Известно, что 1/4 часть рабочих некоторой отрасли промышленности имеет среднее образование. Для некоторого обследования на удачу выбрано 2000 рабочих. Найти:

1) математическое ожидание числа рабочих со средним образованием среди выбранных 2000;

2) вероятность того, что истинное (фактическое) число таких рабочих отклонится от этого ожидаемого не более чем на 1,6 %.

Задача 8

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 раз и не более 80 раз.

Задача 9

Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний р = 0.75 . Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0.001.

Задача 10

Случайное событие произошло 150 раз при 1500 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.97 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 11 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.91 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.85 лежит среднее квадратическое X.

19.72 21.20 16.75 19.81 9.75 15.36 8.41 36.72

11.11 30.83 31.25

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

36.26 33.98 18.51 40.80 32.19 28.36 9.66 15.42 36.35 23.14

18.74 24.97 36.95 30.46 22.47 22.14 42.24 22.90 23.03 42.19

13.60 28.64 21.44 31.47 28.94 26.83 32.58 26.92 28.63 24.64

30.77 24.48 18.69 31.13 24.05 34.15 25.75 19.52 25.09 31.80

35.67 23.12 25.16 15.35 31.84 21.48 29.14 25.52 22.02 32.63

a = 27.04 s = 7.227

ВАРИАНТ N 59

Задача 1

Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат - общее число подбрасываний. События:

A = {герб выпал при третьем подбрасывании},

B = {герб выпал не ранее чем при третьем подбрасывании}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества для указанных событий.

Задача 2

В некотором городе в течение первого квартала родились:

в январе - 145 мальчиков и 135 девочек,

в феврале - 142 мальчика и 136 девочек,

в марте - 152 мальчика и 140 девочек.

Как велика вероятность рождения мальчика?

Задача 3

Один стрелок дает 80% попаданий в цель, а другой 70%. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Цель считается пораженной при попадании в нее хотя бы одной из двух пуль.

Задача 4

Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой.

Задача 5

Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса - 4, из второй - 6, из третьей - 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0.9, 0.7, 0.8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал студент?

Задача 6

Опыт заключается в подбрасывании монеты 10 раз. Сколько самое меньшее раз надо проделать этот опыт, чтобы вероятность того, что хотя бы один раз выпало ровно 5 гербов и пять решек была больше 0.7?

Задача 7

У охотника 4 патрона. Он стреляет по зайцу, пока не попадет или пока не кончатся патроны. Найдите математическое ожидание количества выстрелов, если вероятность попадания примерно 0.25.

Задача 8

По данным телевизионного ателье, в течение гарантийного срока выходит из строя в среднем 12% кинескопов. Какова вероятность того, что из 200 наугад выбранных кинескопов гарантийный срок проработают не менее 160 и не более 174?

Задача 9

Средняя урожайность зерновых на полях области при неблагоприятных условиях (погодных и пр.) подчинена нормальному закону со средним квадратическим 3 ц/га и математическим ожиданием 10 ц/га. Найти вероятность того, что в неблагоприятный год урожайность окажется выше 15 ц/га.

Задача 10

Случайное событие произошло 1500 раз при 4000 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 17 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.9 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит среднее квадратическое X.

61.09 69.91 65.20 48.39 69.74 88.44 58.32 19.92

78.05 69.45 36.85 67.52 58.57 59.56 66.80 94.64 43.38

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

53.86 59.81 69.66 63.04 58.66 73.46 68.88 74.42 66.95 66.91

68.14 62.68 69.91 59.08 63.08 65.67 66.67 64.07 62.58 50.61

54.49 63.24 67.78 63.84 56.10 74.32 68.38 60.11 65.17 58.80

56.41 67.24 68.71 65.66 57.39 70.05 67.04 54.27 79.42 70.70

71.42 72.86 59.86 67.03 79.22 56.60 67.92 68.12 46.68 60.74

a = 64.55 s = 6.943

ВАРИАНТ N 60

Задача 1

Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. События: Аk (k=1,2) - исправен k-ый блок первого типа, Вj (j=1,2,3) - исправен j-й блок второго типа. Прибор исправен, если исправны хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа. Выразить событие С, означающее исправность прибора, через А1,A2,B1,B2,B3.

Задача 2

На каждой их 6 одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а,т,м,р,с,о. Карточки тщательно перемешены. Найти вероятность того, что на 4, вынутых по одной и расположенных "в одну линию" карточках, можно будет прочесть слово "трос".

Задача 3

На испытательном стенде испытываются в определенных условиях 250 приборов. Вероятность того, что в течение часа откажет какой-то определенный из этих приборов, равна 0.004, и эта вероятность одна и та же для всех приборов. Найти вероятность того, что в течение часа откажет хотя бы один из испытываемых приборов.

Задача 4

В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0.9; для велосипедиста 0.8; для бегуна 0.75. Найти вероятность того, что спортсмен выбранный наудачу, выполнит норму.

Задача 5

У рыбака есть 3 излюбленных места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что при однократном забрасывании удочки поймается рыба в первом месте, близка к 1/3, во втором - 1/2, в третьем - 1/4. Известно, что рыбак забросил удочку 3 раза, а вытащил только одну рыбу. Какова вероятность того, что он рыбачил в первом из излюбленных мест?

Задача 6

Вероятность того, что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не больше определенного числа литров в сутки), равна 3/4. Найти вероятность того, что ближайшие 6 дней расход воды будет нормальным в течение трех, четырех или пяти дней. (Ответ состоит из одного числа).

Задача 7

Известно, что 1/4 часть рабочих некоторой отрасли промышленности имеет среднее образование. Для некоторого обследования на удачу выбрано 2000 рабочих. Найти:

1) математическое ожидание числа рабочих со средним образованием среди выбранных 2000;

2) вероятность того, что истинное (фактическое) число таких рабочих отклонится от этого ожидаемого не более чем на 1,6 %.

Задача 8

Проверкой качества изготовляемых радиоламп установлено, что из них 96% служит не меньше гарантируемого срока. Наугад выбирают 1000 радиоламп. Найти вероятность того, что со сроком службы не менее гарантируемого будет от 960 до 980 радиоламп.

Задача 9

Ошибка измерения подчинена нормальному закону. Математическое ожидание этой ошибки равно 5 м, а среднее квадратическое отклонение 10 м. Найти вероятность того, что измеренное значение дальности будет отклоняться от истинного не более,чем на 15 м?

Задача 10

Случайное событие произошло 120 раз при 800 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.9 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 16 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.92 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.80 лежит среднее квадратическое X.

37.45 56.62 72.33 88.30 84.61 91.55 76.08 86.62

64.22 58.48 66.16 38.83 102.93 83.25 37.48 74.00

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

96.61 85.37 53.60 79.92 109.84 61.66 90.67 77.62 95.43 68.02

80.69 64.59 85.94 118.11 72.93 84.09 81.82 69.75 76.05 66.88

106.25 84.22 55.96 106.01 109.54 60.15 75.02 70.63 87.78 83.68

61.97 90.44 87.56 72.00 51.37 87.50 60.24 68.60 90.32 69.23

76.32 96.41 67.67 88.64 97.70 79.33 85.62 90.69 109.98 87.38

a = 81.56 s = 15.785

ВАРИАНТ N 61

Задача 1

Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. События: Аk (k=1,2) - исправен k-ый блок первого типа, Вj (j=1,2,3) - исправен j-й блок второго типа. Прибор исправен, если исправны хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа. Выразить событие С, означающее исправность прибора, через А1,A2,B1,B2,B3.

Задача 2

В некотором городе в течение первого квартала родились:

в январе - 145 мальчиков и 135 девочек,

в феврале - 142 мальчика и 136 девочек,

в марте - 152 мальчика и 140 девочек.

Как велика вероятность рождения мальчика?

Задача 3

На испытательном стенде испытываются в определенных условиях 250 приборов. Вероятность того, что в течение часа откажет какой-то определенный из этих приборов, равна 0.004, и эта вероятность одна и та же для всех приборов. Найти вероятность того, что в течение часа откажет хотя бы один из испытываемых приборов.

Задача 4

В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0.9; для велосипедиста 0.8; для бегуна 0.75. Найти вероятность того, что спортсмен выбранный наудачу, выполнит норму.

Задача 5

При взрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий: крупные, средние и мелкие, причем число крупных, средних и мелких осколков составляет соответственно 0.1; 0.3; 0.6 общего числа осколков.

При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью около 0.9, средний - с вероятностью, близкой к 0.2, и мелкий - с вероятностью, близкой к 0.05. В броню попал один осколок и пробил ее. Найдите вероятности того, что эта пробоина причинена: крупным, средним и мелким осколком.

Задача 6

В квартире 8 электролампочек. Для каждой лампочки вероятность того, что она останется исправной в течение года, примерно равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить 5 лампочек?

Задача 7

У дежурного гостиницы в кармане 8 разных ключей от разных комнат. Вынув наугад ключ, он пробует открыть дверь ближайшей комнаты. Сколько раз в среднем ему придется пробовать открывать таким образом комнаты, если проверенный ключ не кладется обратно в карман?

Задача 8

Вероятность рождения мальчика 0.515. Чему равна вероятность того, что среди 400 новорожденных мальчиков не более половины?

Задача 9

Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0.6 можно было ожидать, чтобы отклонение относительной частоты появлений герба от вероятности р=0.5 окажется по абсолютной величине не более 0.01?

Задача 10

Случайное событие произошло 320 раз при 400 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.9 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 15 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.96 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.97 лежит среднее квадратическое X.

69.59 52.89 54.93 58.16 70.19 68.72 81.85 59.58

54.13 77.72 73.85 60.61 56.21 63.73 61.45

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

57.48 46.67 42.99 64.01 34.01 50.01 31.88 46.96 43.68 42.40

58.96 40.98 30.38 41.70 29.80 62.13 44.12 51.47 38.00 25.91

59.41 52.43 56.19 30.85 42.48 50.94 43.70 51.89 51.30 64.40

39.11 50.17 33.08 43.88 46.16 43.93 62.21 45.34 48.37 44.58

35.83 26.36 56.80 49.65 49.59 35.40 46.78 44.74 63.30 50.43

a = 46.06 s = 9.998

ВАРИАНТ N 62

Задача 1

Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат - появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События:

A = {герб выпал ровно один раз},

B = {ни разу не выпала цифра},

C = {выпало больше гербов,чем цифр},

D = {герб выпал не менее, чем два раза подряд}.

Пoстроить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

Задача 2

Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлеченного жетона, не содержит цифры 5.

Задача 3

Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем из них 86% - первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.

Задача 4

В ящик, содержащий 3 одинаковых детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находившихся в ящике.

Задача 5

При взрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий: крупные, средние и мелкие, причем число крупных, средних и мелких осколков составляет соответственно 0.1; 0.3; 0.6 общего числа осколков.

При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью около 0.9, средний - с вероятностью, близкой к 0.2, и мелкий - с вероятностью, близкой к 0.05. В броню попал один осколок и пробил ее. Найдите вероятности того, что эта пробоина причинена: крупным, средним и мелким осколком.

Задача 6

Волокна хлопка определенного сорта в среднем на 75% имеют длину, меньшую 45 мм, и на 25% - длину, большую (или равную) 45 мм. Найти вероятность того, что среди десяти наудачу взятых волокон ровно шесть будут иметь длину больше 45 мм.

Задача 7

Дискретная случайная величина X имеет следующий закон распределения

X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |

---|----|-----|-----|-----|-----|

P | 1/2| 1/4 | 1/8 | 1/16| 1/32|

Задача 8

Телевизионный завод производит телевизоры, среди которых в среднем 30% оказываются качественными. Сколько телевизоров надо перебрать, чтобы с вероятностью 0.99 среди них можно было выбрать 40 качественных?

Задача 9

Средняя урожайность зерновых на полях области при неблагоприятных условиях (погодных и пр.) подчинена нормальному закону со средним квадратическим 3 ц/га и математическим ожиданием 10 ц/га. Найти вероятность того, что в неблагоприятный год урожайность окажется выше 15 ц/га.

Задача 10

Случайное событие произошло 320 раз при 400 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.9 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 16 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.92 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.80 лежит среднее квадратическое X.

37.45 56.62 72.33 88.30 84.61 91.55 76.08 86.62

64.22 58.48 66.16 38.83 102.93 83.25 37.48 74.00

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

51.05 84.26 62.85 58.04 64.48 74.81 55.11 45.44 56.49 46.77

62.56 34.50 47.99 34.08 48.94 74.30 55.33 77.75 81.88 67.41

60.77 66.53 51.89 83.29 59.39 72.48 79.37 72.32 85.83 54.92

64.60 42.38 60.06 59.17 86.70 86.69 63.59 73.36 74.34 69.58

48.42 90.38 67.85 64.67 73.00 85.46 75.08 64.82 67.54 69.99

a = 65.17 s = 13.788

ВАРИАНТ N 63

Задача 1

Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат - пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в первый и второй раз. События:

A = {оба раза выпало число очков, кратное трем},

B = {ни разу не выпало число шесть},

C = {оба раза выпало число очков, больше трех},

D = {оба раза выпало одинаковое число очков}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

Задача 2

Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность того, что все три билета стоят вместе семь рублей.

Задача 3

"По данным госстатистики, на конец 1991 года в России наблюдалось 3.5 млн. пациентов с психическими отклонениями (без учета наркологически больных)" - Российская газета от 31.10.1992. Считая, что население России составляет 150 млн. человек, найти вероятность того, что в студенческой группе из 25 человек все являются психически здоровыми.

Задача 4

В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы соответственно равны О.8; 0.85; 0.9; 0.95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

Задача 5

В кошельке лежат три монеты достоинством по 20 коп. и семь монет по 3 коп. Наудачу берется одна монета, а затем извлекается вторая монета, оказавшаяся монетой в 20 коп. Определить вероятность того, что и первая извлеченная монета имеет достоинство в 20 коп.

Задача 6

Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадает не менее двух раз.

Задача 7

Независимые дискретные случайные величины заданы следующими законами распределения:

X | 2 | 3 | 5 Y | 1 | 4

--|------|------|------ ----|-------|-------

p | 0,3 | 0,5 | 0,2 p | 0,2 | 0,8

Найти:

а) закон распределения случайной величины Z= X + Y, ее математическое ожидание и дисперсию;

b) закон распределения случайной величины U = XY и ее математическое ожидание.

Задача 8

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не более 70 раз.

Задача 9

Самолет летит под управлением автопилота, который поддерживает высоту 9000 м. Под действием случайных причин истинная высота самолета в каждый момент времени есть случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону со средним квадратическим 50 м. Найти вероятность того, что в случайно взятый момент времени самолет окажется вне коридора от 8900

до 9100 м .

Задача 10

Случайное событие произошло 1200 раз при 5000 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.98 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 16 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.92 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.80 лежит среднее квадратическое X.

37.45 56.62 72.33 88.30 84.61 91.55 76.08 86.62

64.22 58.48 66.16 38.83 102.93 83.25 37.48 74.00

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

83.04 73.77 67.00 66.43 67.09 57.01 50.47 64.62 58.87 47.85

69.89 71.52 60.30 63.76 69.22 57.53 66.48 54.93 76.93 64.03

62.74 63.38 76.07 68.58 55.72 56.33 67.89 48.59 66.63 60.92

66.60 63.65 40.18 70.79 51.12 63.57 60.17 69.04 58.85 64.51

69.56 64.57 66.73 55.89 71.85 75.21 60.56 59.62 68.39 62.58

a = 63.62 s = 8.064

ВАРИАНТ N 64

Задача 1

Два шахматиста играют две партии. Событие А - первый игрок выиграет обе партии, В - второй игрок выиграет обе партии, C - первая партия закончится вничью, D - вторая партия закончится вничью, E - обе партии закончатся вничью, F - матч закончится вничью, G - ровно одна из партий закончится вничью, H - в матче не случится ни одной ничьей. Найдите то (единственное) сочетание из перечисленных событий A,B,C,D,E,F,G, которое образует полную группу событий.

Задача 2

Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность того, что все три билета стоят вместе семь рублей.

Задача 3

Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0.84. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же).

Задача 4

В ящик, содержащий 3 одинаковых детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находившихся в ящике.

Задача 5

Два зенитных орудия ведут огонь по одному и тому же самолету. Вероятность попадания выстрелом из первого орудия примерно равна 0.2, из второго - 0.6. Первым залпом в самолет попали только из одного орудия. Какова вероятность того, что промахнулся расчет первого орудия?

Задача 6

Опыт заключается в подбрасывании монеты 10 раз. Сколько самое меньшее раз надо проделать этот опыт, чтобы вероятность того, что хотя бы один раз выпало ровно 5 гербов и пять решек была больше 0.7?

Задача 7

Дискретная случайная величина X имеет следующий закон

распределения

X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |

---|----|-----|-----|-----|-----|

P | 1/2| 1/4 | 1/8 | 1/16| 1/32|

Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Задача 8

Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажется не менее 32 женщин (предполагаем, что количество мужчин в городе равно количеству женщин)?

Задача 9

Велосипедист едет по шоссе стараясь держаться в 1 м от его края. Среднее квадратическое отклонение при этом равно 30 см. Впереди на дороге имеется незаметная яма, правая сторона которой расположена в 125 см от края шоссе.

____________________край шоссе______________________

‹ ‹

‹ ‹ 1 м (в среднем)

‹125 см ‹

‹ <==== - велосипедист

‹

¦¦¦

¦¦¦¦¦

¦¦¦¦ямদ

¦¦¦¦¦¦

Найти вероятность того, что велосипедист не попадет в яму.

Задача 10

Случайное событие произошло 1300 раз при 4000 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.98 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 15 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.999 лежит среднее квадратическое X.

64.20 49.87 59.41 69.39 46.94 72.26 66.26 56.82 48.58

75.36 56.11 60.40 64.65 49.21 55.33

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

28.05 31.67 34.85 17.51 17.03 30.31 20.00 26.84 21.99 24.51

40.59 21.95 11.52 29.49 22.75 22.66 23.35 0.79 22.88 14.80

28.04 15.32 19.67 -3.94 31.27 3.78 21.26 5.88 7.53 27.17

29.08 12.22 21.54 28.36 11.36 11.48 28.27 25.80 13.37 10.73

13.47 11.50 22.68 19.42 16.38 11.10 22.19 25.23 34.86 26.35

a = 20.30 s = 9.247

ВАРИАНТ N 65

Задача 1

Два шахматиста играют две партии. Событие А - первый игрок выиграет обе партии, В - второй игрок выиграет обе партии, C - первая партия закончится вничью, D - вторая партия закончится вничью, E - обе партии закончатся вничью, F - матч закончится вничью, G - ровно одна из партий закончится вничью, H - в матче не случится ни одной ничьей. Найдите то (единственное) сочетание из перечисленных событий A,B,C,D,E,F,G, которое образует полную группу событий.

Задача 2

Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь ровно одну окрашенную грань.

Задача 3

Один стрелок дает 80% попаданий в цель, а другой 70%. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Цель считается пораженной при попадании в нее хотя бы одной из двух пуль.

Задача 4

В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы соответственно равны О.8; 0.85; 0.9; 0.95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок

службы.

Задача 5

При исследовании больного имеется подозрение на одно из трех заболеваний: А1, А2, А3. Их вероятности в данных условиях равны соответственно

Р1 = 1/2; Р2 = 1/6; Р3 = 1/3.

Для уточнения диагноза назначен некоторый анализ, дающий положительный результат с вероятностью 0.1 в случае заболевания А1, с вероятностью 0.2 в случае заболевания А2, и с вероятностью 0.9 в случае заболевания А3. Анализ был проведен пять раз и дал четыре раза положительный результат и один раз отрицательный. Требуется найти вероятность каждого

заболевания после анализа.

Задача 6

В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включено 4 мотора.

Задача 7

Производятся независимые испытания, в каждом из которых с вероятностью 0,8 может произойти некоторое событие А. Испытание производится до первого появления события А; общее число испытаний не превосходит 4. Определить среднее число произведенных испытаний.

Задача 8

Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажется не менее 32 женщин (предполагаем, что количество мужчин в городе равно количеству женщин)?

Задача 9

Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0.6 можно было ожидать, чтобы отклонение относительной частоты появлений герба от вероятности р=0.5 окажется по абсолютной величине не более 0.01?

Задача 10

Случайное событие произошло 350 раз при 500 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.95 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 16 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.92 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.95 лежит среднее квадратическое X.

36.50 55.72 48.73 52.18 63.30 55.50 66.60 44.56

68.24 61.67 61.21 26.42 50.35 35.87 30.42 30.97

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

25.80 32.22 20.14 27.74 30.91 28.61 22.86 29.29 54.24 19.86

29.01 46.17 21.30 15.51 16.38 44.06 17.20 45.84 31.08 14.64

19.57 29.64 18.81 28.40 39.08 41.99 26.10 17.17 19.93 25.87

25.96 32.11 12.38 39.19 45.70 28.16 29.91 36.05 2.00 56.07

27.87 10.24 56.47 26.24 33.61 11.79 38.52 30.57 14.08 21.33

a = 28.35 s = 12.037

ВАРИАНТ N 66

Задача 1

Два шахматиста играют две партии. Событие А - первый игрок выиграет обе партии, В - второй игрок выиграет обе партии, C - первая партия закончится вничью, D - вторая партия закончится вничью, E - обе партии закончатся вничью, F - матч закончится вничью, G - ровно одна из партий закончится вничью, H - в матче не случится ни одной ничьей. Найдите то (единственное) сочетание из перечисленных событий A,B,C,D,E,F,G, которое образует полную группу событий.

Задача 2

Пассажир ждет автобус N 20 или N 32 или любой троллейбус возле остановки, у которой останавливаются автобусы четырех маршрутов: NN 20,32, 77, 80 и троллейбусы. Считая, что автобусы всех маршрутов появляются в среднем одинаково часто, а троллейбусов столько же, сколько всех автобусов вместе, найти вероятность того, что пассажир уедет в троллейбусе.

Задача 3

Одновременно брошены две монеты и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: "появился хоть один герб", "появилось 6 очков".

Задача 4

Двое студентов вместе выучили 20 одних и тех же билетов из 25. Сначала на экзамен заходит первый из них и выбирает один билет из 25, затем заходит второй и тянет билет из оставшихся 24. У кого из них больше шансов вытащить незнакомый билет?

Задача 5

Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса - 4, из второй - 6, из третьей - 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0.9, 0.7, 0.8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал студент?

Задача 6

Вероятность того , что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не больше определенного числа литров в сутки), равна 3/4. Найти вероятность того, что ближайшие 6 дней расход воды будет нормальным в течение трех, четырех или пяти дней. (Ответ состоит из одного числа).

Задача 7

Дискретная случайная величина X имеет следующий закон распределения

X	0	1	2	3	4
P	1/2	1/4	1/8	1/16	1/32

Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Задача 8

Вероятность рождения мальчика 0.515. Чему равна вероятность того, что среди 600 новорожденных мальчиков не более половины?

Задача 9

Ошибка радиодальномера подчинена нормальному закону. Систематической ошибки радиодальномер не дает. Дисперсия ошибки равна 250 мЅ. Истинное расстояние до объекта равно 1 км. Какова вероятность того, что результат измерения окажется меньше 950 м?

Задача 10

Случайное событие произошло 120 раз при 500 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 24 значения нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.94

27.54 27.67 36.05 21.06 25.24 35.63 29.09 23.73

27.95 31.90 28.57 30.85 24.67 24.65 22.29 26.21

30.50 42.80 21.55 32.70 33.70 38.10 29.34 33.31

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

30.66 19.65 16.60 44.14 42.95 10.06 30.34 43.35 28.54 10.57

32.93 45.25 52.82 36.46 36.30 8.91 55.12 10.55 39.94 22.22

19.53 24.87 49.50 31.47 24.53 35.83 52.70 26.04 40.46 40.74

31.29 23.34 25.02 54.54 35.27 11.24 28.55 44.07 31.12 31.21

20.98 29.21 21.85 35.65 16.81 36.77 19.65 43.03 26.47 37.95

a = 31.34 s = 12.225

ВАРИАНТ N 67

Задача 1

Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат - общее число подбрасываний. События:

A = {герб выпал при третьем подбрасывании},

B = {герб выпал не ранее чем при третьем подбрасывании}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества для указанных событий.

Задача 2

В некотором городе в течение первого квартала родились:

в январе - 145 мальчиков и 135 девочек,

в феврале - 142 мальчика и 136 девочек,

в марте - 152 мальчика и 140 девочек.

Как велика вероятность рождения мальчика?

Задача 3

У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом N 1, и 4 детали изготовленных заводом N 2. Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом N 1.

Задача 4

Группе студентов для прохождения производственной практики выделено 30 мест: 15 - в Туле, 8 - во Владимире, 7 - в Калуге. Какова вероятность того, что студент и студентка, которые в скором времени собираются справить свадьбу, будут посланы для прохождения практики в один и тот же город, если декан ничего не знает об их семейных делах?

Задача 5

Два зенитных орудия ведут огонь по одному и тому же самолету. Вероятность попадания выстрелом из первого орудия примерно равна 0.2, из второго - 0.6. Первым залпом в самолет попали только из одного орудия. Какова вероятность того, что

промахнулся расчет первого орудия?

Задача 6

В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включено 4 мотора.

Задача 7

Дискретная случайная величина X имеет следующий закон

распределения

X	-1	0	1	5	7
P	1/32	¼	1/8	1/4	1/2

Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Задача 8

Телевизионный завод производит телевизоры, среди которых в среднем 30% оказываются качественными. Сколько телевизоров надо перебрать, чтобы с вероятностью 0.99 среди них можно было выбрать 40 качественных?

Задача 9

Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0.6 можно было ожидать, чтобы отклонение относительной частоты появлений герба от вероятности р=0.5 окажется по абсолютной величине не более 0.01?

Задача 10

Случайное событие произошло 1200 раз при 4500 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.98 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 15 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.96 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.97 лежит среднее квадратическое X.

69.59 52.89 54.93 58.16 70.19 68.72 81.85 59.58

54.13 77.72 73.85 60.61 56.21 63.73 61.45

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

45.33 44.23 5.61 10.23 63.38 8.47 19.97 30.29 6.30 3.95

57.46 33.48 17.36 1.71 23.79 13.89 29.86 4.93 3.26 7.32

22.90 61.90 10.58 -17.99 32.78 44.94 10.64 28.76 3.39 32.04

49.49 13.65 30.34 4.71 15.28 32.30 15.31 33.54 33.26 44.27

38.24 10.03 -0.66 26.59 3.83 23.02 29.92 8.28 5.93 19.93

a = 21.96 s = 17.680

ВАРИАНТ N 68

Задача 1

Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат - появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События: A = {герб выпал ровно один раз},

B = {ни разу не выпала цифра},

C = {выпало больше гербов,чем цифр},

D = {герб выпал не менее, чем два раза подряд}.

Пoстроить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

Задача 2

Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлеченного жетона, не содержит цифры 5.

Задача 3

Из колоды карт (54 карты) наудачу извлекают три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.

Задача 4

Для посева заготовлены семена пшеницы сорта 1, содержащие небольшое количество примесей других сортов 2,3,4. Возьмем одно из этих зерен. Событие, состоящие в том, что это зерно сорта 1, обозначим через А1, что оно сорта 2 - через А2, сорта 3 - через А3 и, наконец, сорта 4 - через А4. Известно, что вероятность того, что наудачу взятое зерно окажется того или иного сорта, равны

Р(А1) = 0.96; Р(А2) = 0.01; Р(А3) = 0.02; Р(А4) = 0.01.

Вероятность того, что из зерна вырастает колос, содержащий не менее 50 зерен, равна:

1) 0.50 из зерна 1 сорта ,

2) 0.15 из зерна 2 сорта ,

3) 0.20 из зерна 3 сорта ,

4) 0.05 из зерна 4 сорта ,

Требуется найти безусловную вероятность того, что колос

будет иметь не менее 50 зерен.

Задача 5

При взрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий: крупные, средние и мелкие, причем число крупных, средних и мелких осколков составляет соответственно 0.1; 0.3; 0.6 общего числа осколков.

При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью около 0.9, средний - с вероятностью, близкой к 0.2, и мелкий - с вероятностью, близкой к 0.05. В броню попал один осколок и пробил ее. Найдите вероятности того, что эта пробоина причинена: крупным, средним и мелким осколком.

Задача 6

В квартире 8 электролампочек. Для каждой лампочки вероятность того, что она останется исправной в течение года, примерно равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года

придется заменить 5 лампочек?

Задача 7

Дискретная случайная величина X имеет следующий закон распределения

X	-5	4	0	-1
P	0.6	0.1	0.1	0.2

Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Задача 8

Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажется не менее 32 женщин (предполагаем, что количество мужчин в городе равно количеству женщин)?

Задача 9

Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0.6 можно было ожидать, чтобы отклонение относительной частоты появлений герба от вероятности р=0.5 окажется по абсолютной величине не более 0.01?

Задача 10

Случайное событие произошло 1300 раз при 4000 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.98 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 17 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.9 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит среднее квадратическое X.

61.09 69.91 65.20 48.39 69.74 88.44 58.32 19.92

78.05 69.45 36.85 67.52 58.57 59.56 66.80 94.64 43.38

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

36.26 33.98 18.51 40.80 32.19 28.36 9.66 15.42 36.35 23.14

18.74 24.97 36.95 30.46 22.47 22.14 42.24 22.90 23.03 42.19

13.60 28.64 21.44 31.47 28.94 26.83 32.58 26.92 28.63 24.64

30.77 24.48 18.69 31.13 24.05 34.15 25.75 19.52 25.09 31.80

35.67 23.12 25.16 15.35 31.84 21.48 29.14 25.52 22.02 32.63

a = 27.04 s = 7.227

ВАРИАНТ N 69

Задача 1

Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат - общее число подбрасываний. События:

A = {герб выпал при третьем подбрасывании},

B = {герб выпал не ранее чем при третьем подбрасывании}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующее указанным событиям.

Задача 2

На каждой их 6 одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а,т,м,р,с,о. Карточки тщательно перемешены. Найти вероятность того, что на 4, вынутых по одной и расположенных "в одну линию" карточках, можно будет прочесть слово "трос".

Задача 3

Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом.

Задача 4

Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом N1, и две коробки деталей, изготовленных заводом N2. Вероятность того, что деталь завода N1 стандартна равна 0.8, а завода N2 - 0.9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

Задача 5

В кошельке лежат три монеты достоинством по 20 коп. и семь монет по 3 коп. Наудачу берется одна монета, а затем извлекается вторая монета, оказавшаяся монетой в 20 коп. Определить вероятность того, что и первая извлеченная монета имеет достоинство в 20 коп.

Задача 6

Опыт заключается в подбрасывании монеты 10 раз. Сколько самое меньшее раз надо проделать этот опыт, чтобы вероятность того, что хотя бы один раз выпало ровно 5 гербов и пять решек была больше 0.7?

Задача 7

Производятся независимые испытания, в каждом из которых с вероятностью 0,8 может произойти некоторое событие А. Испытание производится до первого появления события А; общее число испытаний не превосходит 4. Определить среднее число произведенных испытаний.

Задача 8

Телевизионный завод производит телевизоры, среди которых в среднем 30% оказываются качественными. Сколько телевизоров надо перебрать, чтобы с вероятностью 0.99 среди них можно было выбрать 40 качественных?

Задача 9

Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний р = 0.75 . Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0.001.

Задача 10

Случайное событие произошло 120 раз при 800 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.9 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 16 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.92 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.80 лежит среднее квадратическое X.

37.45 56.62 72.33 88.30 84.61 91.55 76.08 86.62

64.22 58.48 66.16 38.83 102.93 83.25 37.48 74.00

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

57.48 46.67 42.99 64.01 34.01 50.01 31.88 46.96 43.68 42.40

58.96 40.98 30.38 41.70 29.80 62.13 44.12 51.47 38.00 25.91

59.41 52.43 56.19 30.85 42.48 50.94 43.70 51.89 51.30 64.40

39.11 50.17 33.08 43.88 46.16 43.93 62.21 45.34 48.37 44.58

35.83 26.36 56.80 49.65 49.59 35.40 46.78 44.74 63.30 50.43

a = 46.06 s = 9.998

ВАРИАНТ N 70

Задача 1

Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат - появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События:

A = {герб выпал ровно один раз},

B = {ни разу не выпала цифра},

C = {выпало больше гербов,чем цифр},

D = {герб выпал не менее, чем два раза подряд}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

Задача 2

Из колоды в 36 карт наудачу извлекают три карты. Определить вероятность того, что сумма очков этих карт равна 21, если валет составляет два очка, дама - три, король - четыре, туз - одиннадцать, а остальные карты - соответственно шесть, семь, восемь, девять и десять очков.

Задача 3

На испытательном стенде испытываются в определенных условиях 250 приборов. Вероятность того, что в течение часа откажет какой-то определенный из этих приборов, равна 0.004, и эта вероятность одна и та же для всех приборов. Найти вероятность того, что в течение часа откажет хотя бы один из испытываемых приборов.

Задача 4

В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0.9; для велосипедиста 0.8; для бегуна 0.75. Найти вероятность того, что спортсмен выбранный наудачу, выполнит норму.

Задача 5

Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут 5 дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет около 0.6; если по второй - 0.3; если по третьей - 0.2; если по четвертой - 0.1; если по пятой - 0.1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

Задача 6

Опыт заключается в подбрасывании монеты 10 раз. Сколько самое меньшее раз надо проделать этот опыт, чтобы вероятность того, что хотя бы один раз выпало ровно 5 гербов и пять решек была больше 0.7?

Задача 7

Дискретная случайная величина X имеет следующий закон распределения

X	-6	4	0	-1
P	0.3	0.4	0.1	0.2

Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Задача 8