Программа

курса "Теория вероятностей и математическая

Статистика"

для студентов 2 курса

экономического ф-та (заочное отделение)

I. Вероятность

1. Случайные события.

2. Пространство элементарных исходов.

3. Алгебра событий.

4. Вероятность.

5. Классическая схема.

6. Элементы комбинаторики.

7. Теорема сложения вероятностей.

8. Независимые события и условная вероятность.

9. Формула полной вероятности.

10. Формула Байеса.

11. Формула Бернулли.

II. Случайные величины

1. Понятие случайной величины.

2. Функция распределения.

3. Дискретные случайные величины.

4. Непрерывные и прочие случайные величины.

5. Плотность распределения непрерывной случайной величины.

6. Операции над случайными величинами. Независимость.

7. Математическое ожидание.

8. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

9. Нормально распределенные случайные величины.

10. Функция Лапласа.

11. Понятие о предельных теоремах теории вероятностей.

12. Теоремы Муавра-Лапласа.

III. Элементы математической статистики

1. Предмет и задачи математической статистики.

2. Доверительные интервалы и доверительная вероятность.

3. Вычисление доверительного интервала для вероятности случайного события.

4. Оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины.

5. Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины.

6. Доверительный интервал в случае бесповторной выборки.

7. Распределение.

8. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения.

9. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины.

Л и т е р а т у р а

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – Любое издание.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – Любое издание.

3. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическаястатистика. М. Статистика. 1970.

4. Ивашев – Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Наука, 1979.

5. Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М. Наука. 1988.

6. Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей. М. Наука. 1969.

7. Лозинский С.Н. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. М. Статистика. 1975.

8. Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики. М. Высшая школа. 1971.

Вариант n 1

Задача 1

Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат -появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События:

A = {герб выпал ровно один раз},

B = {ни разу не выпала цифра},

C = {выпало больше гербов, чем цифр},

D = {герб выпал не менее, чем два раза подряд}. Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

Задача 2

На десяти одинаковых карточках написаны различные числа

от нуля до девяти. Определить вероятность того, что наудачу образованное с помощью данных карточек

а) двузначное число делится на 18;

б) трехзначное число делится на 36.

Задача 3

Монета бросается до тех пор, пока два раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятность того, что опыт окончится до 6 бросания.

Задача 4

В ящик, содержащий 3 одинаковые детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находившихся в ящике.

Задача 5

У рыбака есть 3 излюбленные места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что при однократном забрасывании удочки поймается рыба в первом месте, близка к 1/3, во втором - 1/2, в третьем - 1/4. Известно, что рыбак забросил удочку 3 раза, а вытащил только одну рыбу. Какова вероятность того, что он рыбачил в первом из излюбленных мест ?

Задача 6

Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Вероятность ничьей в каждой партии равна 0.2. Чего следует больше ожидать: четырех побед в семи партиях или пяти побед в восьми партиях?

Задача 7

Известно, что 1/4 часть рабочих некоторой отрасли промышленности имеет среднее образование. Для некоторого обследования на удачу выбрано 2000 рабочих. Найти:

1) математическое ожидание числа рабочих со средним образованием среди выбранных 2000;

2) вероятность того, что истинное (фактическое) число таких рабочих отклонится от этого ожидаемого не более чем на 1,6 %.

Задача 8

Из 1300 жителей микрорайона каждый в среднем раз в два месяца заходит в жилищную контору за какой-нибудь справкой. На каждую справку контора тратит 10 минут. Сколько минут рабочего дня контора должна планировать на работу с посетителями, чтобы каждый день с вероятностью 0.8 обслуживать всех людей, обратившихся в этот день за справкой? (Считать, что в месяце 26 рабочих дней).

Задача 9

Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний р = 0.75 . Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0.001.

Задача 10

Случайное событие произошло 1500 раз при 4000 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 19 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.92 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит среднее квадратическое X.

41.28 42.89 48.40 43.54 40.91 38.54 42.04 43.25

40.55 38.94 44.63 38.41 39.32 38.62 36.77 37.93

41.76 47.68 39.19

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат, определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

75.80 87.62 80.93 75.94 84.80 80.19 91.43 78.64 81.02 70.35

67.86 75.48 74.99 85.23 78.68 88.48 64.75 74.14 90.65 96.54

77.95 84.15 64.21 75.51 82.06 65.40 76.34 85.67 81.10 81.49

72.97 68.22 80.63 70.01 86.28 86.80 80.04 67.90 81.56 79.34

92.18 86.29 70.11 74.67 71.10 72.39 70.43 78.57 85.75 77.60

a = 78.60 s = 7.636

ВАРИАНТ N 2

Задача 1

Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат - пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в первый и второй раз. События:

A = {оба раза выпало число очков, кратное трем},

B = {ни разу не выпало число шесть},

C = {оба раза выпало число очков, больше трех},

D = {оба раза выпало одинаковое число очков}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

Задача 2

Из колоды в 36 карт наудачу извлекают три карты. Определить вероятность того, что сумма очков этих карт равна 21, если валет составляет два очка, дама - три, король - четыре, туз - одиннадцать, а остальные карты - соответственно шесть, семь, восемь, девять и десять очков.

Задача 3

Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0.1; вероятность выбить 9 очков равна О.3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0.6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

Задача 4

В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0.9; для велосипедиста 0.8; для бегуна 0.75. Найти вероятность того, что спортсмен выбранный наудачу, выполнит норму.

Задача 5

Два зенитных орудия ведут огонь по одному и тому же самолету. Вероятность попадания выстрелом из первого орудия примерно равна 0.2, из второго - 0.6. Первым залпом в самолет попали только из одного орудия. Какова вероятность того, что промахнулся расчет первого орудия?

Задача 6

Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадает не менее двух раз.

Задача 7

Дискретная случайная величина X имеет следующий закон распределения

X | -6 | 4 | 0 | -1

---|--------|-------|-------|----------

P | 0.6 | 0.1 | 0.1 | 0.2

Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Задача 8

Из 300 жителей поселка каждый примерно пять раз в месяц ездит в город, выбирая день поездки случайным образом, независимо от остальных жителей. Для этих поездок администрация ежедневно выделяет автобус. Какое число мест необходимо в нем предусмотреть, чтобы переполнение возникало не чаще, чем один раз в 100 дней?

Задача 9

Самолет летит под управлением автопилота, который поддерживает высоту 9000 м. Под действием случайных причин истинная высота самолета в каждый момент времени есть случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону со средним квадратическим 50 м. Найти вероятность того, что в случайно взятый момент времени самолет окажется вне коридора от 8900 до 9100 м.

Задача 10

Случайное событие произошло 220 раз при 500 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.95 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 20 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.98 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.995 лежит среднее квадратическое X.

50.85 40.51 46.28 29.25 56.30 48.11 52.12 59.09

46.74 49.39 59.11 37.77 64.36 48.47 45.96 37.41

69.71 62.35 43.54 52.01

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

51.05 84.26 62.85 58.04 64.48 74.81 55.11 45.44 56.49 46.77

62.56 34.50 47.99 34.08 48.94 74.30 55.33 77.75 81.88 67.41

60.77 66.53 51.89 83.29 59.39 72.48 79.37 72.32 85.83 54.92

64.60 42.38 60.06 59.17 86.70 86.69 63.59 73.36 74.34 69.58

48.42 90.38 67.85 64.67 73.00 85.46 75.08 64.82 67.54 69.99

a = 65.17 s = 13.788

ВАРИАНТ N 3

Задача 1

Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат - общее число подбрасываний. События:

A = {герб выпал при третьем подбрасывании},

B = {герб выпал не ранее чем при третьем подбрасывании}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующее указанным событиям.

Задача 2

В некотором городе в течение первого квартала родились:

в январе - 145 мальчиков и 135 девочек,

в феврале - 142 мальчика и 136 девочек,

в марте - 152 мальчика и 140 девочек.

Как велика вероятность рождения мальчика?

Задача 3

На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли 3 человека. Вероятность выхода каждого из лифта на любом этаже одинакова. Найдите вероятность того, что все они вышли из лифта на четвертом этаже.

Задача 4

Библиотека состоит из 10 различных книг, причем 5 книг стоят по 40 рублей каждая, 3 книги по 10 рублей, а 2 книги по 30 рублей. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 50 рублей.

Задача 5

Два зенитных орудия ведут огонь по одному и тому же самолету. Вероятность попадания выстрелом из первого орудия примерно равна 0.2, из второго - 0.6. Первым залпом в самолет попали только из одного орудия. Какова вероятность того, что промахнулся расчет первого орудия?

Задача 6

Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Вероятность ничьей в каждой партии равна 0.2. Чего следует больше ожидать: четырех побед в семи партиях или пяти побед в восьми партиях?

Задача 7

У дежурного гостиницы в кармане 8 разных ключей от разных комнат. Вынув наугад ключ, он пробует открыть дверь ближайшей комнаты. Сколько раз в среднем ему придется пробовать открывать таким образом комнаты, если проверенный ключ не кладется обратно в карман?

Задача 8

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 раз и не более 80 раз.

Задача 9

Станок штампует болты, длина которых подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим 2 мм. Болт считается бракованным, если его длина меньше 128 или больше 132 мм. Каков процент брака, выпускаемый станком, если средняя длина болтов, которые он штампует, равна 128 мм?

Задача 10

Случайное событие произошло 150 раз при 1500 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.97 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 11 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.91 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.85 лежит среднее квадратическое X.

19.72 21.20 16.75 19.81 9.75 15.36 8.41 36.72

11.11 30.83 31.25

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

62.36 68.59 69.70 61.70 56.97 74.48 61.58 70.19 60.68 63.59

64.78 73.86 62.04 66.59 58.88 56.33 64.18 71.04 60.48 66.59

71.27 63.95 70.23 61.55 67.59 67.01 60.07 62.47 72.37 69.14

71.97 65.95 68.32 58.69 71.32 66.47 65.38 72.01 66.51 59.58

73.87 68.01 66.39 73.39 70.11 68.96 77.93 61.71 61.71 67.72

a = 66.33 s = 5.061

ВАРИАНТ N 4

Задача 1

Проводится матч на первенство страны по футболу между командами "Динамо" и "Спартак". Интересующие нас события:

A = {выиграла команда "Динамо"},

B = {игра закончилась победой одной из команд},

C = {игра закончилась со счетом 3:1 в пользу "Спартака"},

D = {в игре забито не менее трех голов}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

Задача 2

Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлеченного жетона, не содержит цифры 5.

Задача 3

Один стрелок дает 80% попаданий в цель, а другой 70%. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Цель считается пораженной при попадании в нее хотя бы одной из двух пуль.

Задача 4

Для посева заготовлены семена пшеницы сорта 1, содержащие небольшое количество примесей других сортов 2,3,4. Возьмем одно из этих зерен. Событие, состоящие в том, что это зерно сорта 1, обозначим через А1, что оно сорта 2 - через А2, сорта 3 - через А3 и, наконец, сорта 4 - через А4. Известно, что вероятность того, что наудачу взятое зерно окажется того или иного сорта, равны

Р(А1) = 0.96; Р(А2) = 0.01; Р(А3) = 0.02; Р(А4) = 0.01.

Вероятность того, что из зерна вырастает колос, содержащий не менее 50 зерен, равна:

1) 0.50 из зерна 1 сорта ,

2) 0.15 из зерна 2 сорта ,

3) 0.20 из зерна 3 сорта ,

4) 0.05 из зерна 4 сорта ,

Требуется найти безусловную вероятность того, что колос будет иметь не менее 50 зерен.

Задача 5

Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса - 4, из второй - 6, из третьей - 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0.9, 0.7, 0.8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал студент?

Задача 6

В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включено 4 мотора.

Задача 7

Баскетболист забрасывает штрафной мяч в корзину с вероятностью, близкой к 0.5. Сколько в среднем штрафных он может забросить подряд?

Задача 8

По данным телевизионного ателье, в течение гарантийного срока выходит из строя в среднем 12% кинескопов. Какова вероятность того, что из 200 наугад выбранных кинескопов гарантийный срок проработают не менее 160 и не более 174?

Задача 9

Велосипедист едет по шоссе стараясь держаться в 1 м от его края. Среднее квадратическое отклонение при этом равно 30 см. Впереди на дороге имеется незаметная яма, правая сторона которой расположена в 125 см от края шоссе.

____________________край шоссе______________________

‹ ‹

‹ ‹ 1 м (в среднем)

‹125 см ‹

‹ <==== - велосипедист

¦¦¦

¦¦¦¦¦¦

¦¦¦ямদ

¦¦¦¦¦¦¦

Найти вероятность того, что велосипедист не попадет в яму.

Задача 10

Случайное событие произошло 1500 раз при 4000 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 19 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.98 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.992 лежит среднее квадратическое X.

22.09 23.55 19.81 37.52 16.04 19.24 27.89 21.26

33.37 21.24 32.48 28.94 14.03 11.65 30.85 26.28

14.54 38.96 25.38

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

75.80 87.62 80.93 75.94 84.80 80.19 91.43 78.64 81.02 70.35

67.86 75.48 74.99 85.23 78.68 88.48 64.75 74.14 90.65 96.54

77.95 84.15 64.21 75.51 82.06 65.40 76.34 85.67 81.10 81.49

72.97 68.22 80.63 70.01 86.28 86.80 80.04 67.90 81.56 79.34

92.18 86.29 70.11 74.67 71.10 72.39 70.43 78.57 85.75 77.60

a = 78.60 s = 7.636

ВАРИАНТ N 5

Задача 1

Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат - появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События:

A = {герб выпал ровно один раз},

B = {ни разу не выпала цифра},

C = {выпало больше гербов,чем цифр},

D = {герб выпал не менее, чем два раза подряд}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

Задача 2

Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлеченного жетона, не содержит цифры 5.

Задача 3

У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом N 1, и 4 детали изготовленных заводом N 2. Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом N 1.

Задача 4

В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы соответственно равны О.8; 0.85; 0.9; 0.95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

Задача 5

Путешественник может купить билет в одной из трех касс железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе, примерно равна 1/2, ко второй - 1/3, к третьей - 1/6. Вероятности того, что билетов уже нет в классах, примерно такие: в первой кассе - 1/5, во второй - 1/6, в третьей - 1/8. Путешественник обратился в одну из касс и получил билет. Определите вероятность того, что он направился к первой кассе.

Задача 6

В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включено 4 мотора.

Задача 7

У охотника 4 патрона. Он стреляет по зайцу, пока не попадет или пока не кончатся патроны. Найдите математическое ожидание количества выстрелов, если вероятность попадания примерно 0.25.

Задача 8

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 раз и не более 80 раз.

Задача 9

Средняя урожайность зерновых на полях области при благоприятных условиях (погодных и пр.) подчинена нормальному закону со средним квадратическим 1 ц/га и математическим ожиданием 16 ц/га. Найти вероятность того, что в благоприятный год урожайность окажется ниже 15 ц/га.

Задача 10

Случайное событие произошло 160 раз при 500 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.98 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 15 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.96 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.97 лежит среднее квадратическое X.

69.59 52.89 54.93 58.16 70.19 68.72 81.85 59.58

54.13 77.72 73.85 60.61 56.21 63.73 61.45

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

80.59 84.80 84.52 92.61 84.59 87.35 85.83 75.77 87.03 81.44

76.57 91.60 86.46 80.75 89.85 88.52 94.93 91.23 86.00 84.06

79.45 88.93 91.64 77.76 91.22 87.70 87.01 90.71 94.14 89.48

93.18 87.53 90.98 87.96 80.73 86.18 83.15 89.05 90.58 89.07

83.95 87.06 78.51 92.11 87.49 82.15 94.00 86.10 78.86 90.05

a = 86.62 s = 4.857

ВАРИАНТ N 6

Задача 1

Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат - общее число подбрасываний. События:

A = {герб выпал при третьем подбрасывании},

B = {герб выпал не ранее чем при третьем подбрасывании}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующее указанным событиям.

Задача 2

На каждой их 6 одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а,т,м,р,с,о. Карточки тщательно перемешены. Найти вероятность того, что на 4, вынутых по одной и расположенных "в одну линию" карточках, можно будет прочесть слово "трос".

Задача 3

У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом N 1, и 4 детали изготовленных заводом N 2. Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом N 1.

Задача 4

В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы соответственно равны О.8; 0.85; 0.9; 0.95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

Задача 5

Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут 5 дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет около 0.6; если по второй - 0.3; если по третьей - 0.2; если по четвертой - 0.1; если по пятой - 0.1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

Задача 6

Вероятность того , что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не больше определенного числа литров в сутки), равна 3/4. Найти вероятность того, что ближайшие 6 дней расход воды будет нормальным в течение трех, четырех или пяти дней. (Ответ состоит из одного числа).

Задача 7

Баскетболист забрасывает штрафной мяч в корзину с вероятностью, близкой к 0.5. Сколько в среднем штрафных он может забросить подряд?

Задача 8

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не более 70 раз.

Задача 9

Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний р = 0.75 . Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0.001.

Задача 10

Случайное событие произошло 1200 раз при 4500 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.98 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 24 значения нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.94

27.54 27.67 36.05 21.06 25.24 35.63 29.09 23.73

27.95 31.90 28.57 30.85 24.67 24.65 22.29 26.21

30.50 42.80 21.55 32.70 33.70 38.10 29.34 33.31

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

0.89 29.99 18.77 43.56 22.29 25.84 46.08 42.04 30.51 41.11

34.12 29.25 31.27 32.48 13.98 27.73 4.71 38.67 1.89 44.33

29.46 29.66 46.47 25.27 20.83 33.90 22.97 22.79 45.79 12.38

37.50 42.19 19.69 10.77 46.92 1.03 12.90 58.36 22.35 32.74

38.83 13.09 25.60 5.80 53.49 16.67 -0.86 18.32 34.00 32.46

a = 27.42 s = 14.469

ВАРИАНТ N 7

Задача 1

Два шахматиста играют две партии. Событие А - первый игрок выиграет обе партии, В - второй игрок выиграет обе партии, C - первая партия закончится вничью, D - вторая партия закончится вничью, E - обе партии закончатся вничью, F - матч закончится вничью, G - ровно одна из партий закончится вничью, H - в матче не случится ни одной ничьей. Найдите то (единственное) сочетание из перечисленных событий A,B,C,D,E,F,G, которое образует полную группу событий.

Задача 2

Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность того, что все три билета стоят вместе семь рублей.

Задача 3

В двух ящиках находятся детали: в первом - 10 (из них 3 стандартных), во втором - 15 (их них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Задача 4

Группе студентов для прохождения производственной практики выделено 30 мест: 15 - в Туле, 8 - во Владимире, 7 - в Калуге. Какова вероятность того, что студент и студентка, которые в скором времени собираются справить свадьбу, будут посланы для прохождения практики в один и тот же город, если декан ничего не знает об их семейных делах?

Задача 5

В кошельке лежат три монеты достоинством по 20 коп. и семь монет по 3 коп. Наудачу берется одна монета, а затем извлекается вторая монета, оказавшаяся монетой в 20 коп. Определить вероятность того, что и первая извлеченная монета имеет достоинство в 20 коп.

Задача 6

Опыт заключается в подбрасывании монеты 10 раз. Сколько самое меньшее раз надо проделать этот опыт, чтобы вероятность того, что хотя бы один раз выпало ровно 5 гербов и пять решек была больше 0.7?

Задача 7

Независимые дискретные случайные величины заданы следующими законами распределения:

X | 2 | 3 | 5 Y | 1 | 4

--|------|------|------ ----|-------|-------

p | 0,3 | 0,5 | 0,2 p | 0,2 | 0,8

Найти:

а) закон распределения случайной величины Z= X + Y, ее математическое ожидание и дисперсию;

b) закон распределения случайной величины U = XY и ее математическое ожидание.

Задача 8

В страховом агентстве застраховано 10000 клиентов одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти клиента в течение года примерно 0.006. Каждый клиент первого января вносит 12 долларов. Если в течение года он умрет, то контора обязана выплатить его родственникам 1000 долларов. Чему равна вероятность того, что:

а) контора разорится;

б) контора получит не менее 40000 долларов прибыли?

Задача 9

Самолет летит под управлением автопилота, который поддерживает высоту 9000 м. Под действием случайных причин истинная высота самолета в каждый момент времени есть случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону со средним квадратическим 50 м. Найти вероятность того, что в случайно взятый момент времени самолет окажется вне коридора от 8900

до 9100 м.

Задача 10

Случайное событие произошло 320 раз при 400 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.9 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 8 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.9 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.97 лежит среднее квадратическое X.

49.47 45.77 45.81 50.08 58.25 50.29 58.13 54.71

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

28.05 31.67 34.85 17.51 17.03 30.31 20.00 26.84 21.99 24.51

40.59 21.95 11.52 29.49 22.75 22.66 23.35 0.79 22.88 14.80

28.04 15.32 19.67 -3.94 31.27 3.78 21.26 5.88 7.53 27.17

29.08 12.22 21.54 28.36 11.36 11.48 28.27 25.80 13.37 10.73

13.47 11.50 22.68 19.42 16.38 11.10 22.19 25.23 34.86 26.35

a = 20.30 s = 9.247

ВАРИАНТ N 8

Задача 1

Два шахматиста играют две партии. Событие А - первый игрок выиграет обе партии, В - второй игрок выиграет обе партии, C - первая партия закончится вничью, D - вторая партия закончится вничью, E - обе партии закончатся вничью, F - матч закончится вничью, G - ровно одна из партий закончится вничью, H - в матче не случится ни одной ничьей. Найдите то (единственное) сочетание из перечисленных событий A,B,C,D,E,F,G, которое образует полную группу событий.

Задача 2

Пассажир ждет автобус N 20 или N 32 или любой троллейбус возле остановки, у которой останавливаются автобусы четырех маршрутов: NN 20,32, 77, 80 и троллейбусы. Считая, что автобусы всех маршрутов появляются в среднем одинаково часто, а троллейбусов столько же, сколько всех автобусов вместе, найти вероятность того, что пассажир уедет в троллейбусе.

Задача 3

Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0.8, а вторым стрелком - 0.6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

Задача 4

При переливании крови надо учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему 4 группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со 2 или 3 группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с 1 группой крови можно перелить только кровь первой

группы. Среди населения 33,7 % имеют первую, 37,5 % - вторую, 20,9% - третью и 7,9 % - четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

Задача 5

При исследовании больного имеется подозрение на одно из трех заболеваний: А1, А2, А3. Их вероятности в данных условиях равны соответственно

Р1 = 1/2; Р2 = 1/6; Р3 = 1/3.

Для уточнения диагноза назначен некоторый анализ, дающий положительный результат с вероятностью 0.1 в случае заболевания А1, с вероятностью 0.2 в случае заболевания А2, и с вероятностью 0.9 в случае заболевания А3. Анализ был проведен пять раз и дал четыре раза положительный результат и один раз отрицательный. Требуется найти вероятность каждого

заболевания после анализа.

Задача 6

В результате наблюдений, продолжавшихся многие десятки лет, найдено,что на каждую тысячу новорожденных приходится в среднем 515 мальчиков и 485 девочек. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек.

Задача 7

Баскетболист забрасывает штрафной мяч в корзину с вероятностью, близкой к 0.5. Сколько в среднем штрафных он может забросить подряд?

Задача 8

Вероятность рождения мальчика 0.515. Чему равна вероятность того, что среди 400 новорожденных мальчиков не более половины?

Задача 9

Средняя урожайность зерновых на полях области при благоприятных условиях (погодных и пр.) подчинена нормальному закону со средним квадратическим 1 ц/га и математическим ожиданием 16 ц/га. Найти вероятность того, что в благоприятный год урожайность окажется ниже 15 ц/га.

Задача 10

Случайное событие произошло 1200 раз при 6000 испытаниях. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.98 лежит вероятность этого события.

Задача 11

Ниже приведены 17 значений нормальной случайной величины X. Найти интервал, в котором с вероятностью 0.9 лежит мат. ожидание X и найти интервал, в котором с вероятностью 0.99 лежит среднее квадратическое X.

61.09 69.91 65.20 48.39 69.74 88.44 58.32 19.92

78.05 69.45 36.85 67.52 58.57 59.56 66.80 94.64 43.38

Задача 12

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0.2.

75.25 60.02 67.60 79.88 65.04 45.48 75.81 86.04 69.45 84.46

64.58 68.36 57.04 79.79 45.99 47.41 80.11 86.03 69.15 51.99

71.53 80.39 93.38 65.08 70.42 83.66 53.72 83.11 48.55 79.07

39.73 91.51 47.25 44.42 35.63 74.69 72.86 58.28 49.88 60.60

66.06 46.22 42.59 81.38 63.43 74.31 45.22 50.35 38.68 85.54

a = 65.14 s = 15.798

ВАРИАНТ N 9

Задача 1

Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат - появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События:

A = {герб выпал ровно один раз},

B = {ни разу не выпала цифра},

C = {выпало больше гербов,чем цифр},

D = {герб выпал не менее, чем два раза подряд}.

Построить множество элементарных исходов W по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

Задача 2

Из колоды в 36 карт наудачу извлекают три карты. Определить вероятность того, что сумма очков этих карт равна 21, если валет составляет два очка, дама - три, король - четыре, туз - одиннадцать, а остальные карты - соответственно шесть, семь, восемь, девять и десять очков.

Задача 3

Из колоды карт (54 карты) наудачу извлекают три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.

Задача 4

Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой.

Задача 5

Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут 5 дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет около 0.6; если по второй - 0.3; если по третьей - 0.2; если по четвертой - 0.1; если по пятой - 0.1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

Задача 6

В результате наблюдений, продолжавшихся многие десятки лет, найдено,что на каждую тысячу новорожденных приходится в среднем 515 мальчиков и 485 девочек. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек.

Задача 7

Производятся независимые испытания, в каждом из которых с вероятностью 0,8 может произойти некоторое событие А. Испытание производится до первого появления события А; общее число испытаний не превосходит 4. Определить среднее число произведенных испытаний.

Задача 8