Алгебра

1. Задача Коши о касательной.

Основная проблема дифференциального исчисления, сформулированная Ньютоном и Лейбницем, звучит так: «Длина проходимого пути дана в любой момент времени; требуется найти скорость движения в предложенное время.»

Рассмотрим математическую модель задачи.

Пусть y=f(x) описывает траекторию движения материальной точки, х – независимая переменная, у-зависимая , х – время, у – путь).

Для того, чтобы найти среднюю скорость движения на участке АВ нужно путь разделить на время, т.е. v_ср= ВС : АС

- это тангенс угла наклона секущей. Устремим Δх к нулю, тогда секущая АВ, поворачиваясь, примет положение касательной ( при этом средняя скорость станет мгновенной в данный момент времени). Тангенс угла наклона этой касательной (или ее угловой коэффициент) называют производной функции в данной точке.

f ^/ (х₀) = tg α = v_мгн

2. Производная. Вычисление производной по определению.

Определение: Производной функции f в точке х₀ называется

1. Алгебраическое определение производной:

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента

f ^/ (x₀) = lim ^{f (x0+ Δx) – f (x0)}

Δx

2. Геометрическое определение производной:

Производная функции в точке х0 –ь это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

3. Физическое определение производной:

Производная функции в данной точке – это мгновенная скорость тела в точке.

Пример: Вычислить производную функции в данной точке х0:

f (x) = x³

Решение: 1) Найдем приращение функции Δf = f(x0 + Δx) – f (x0) =

= (x0 +Δx)³ – x0³ = x0³ + 3 x0² Δx + 3 x0 Δx² +Δx³ - x0³ =

= 3 x0 Δx + 3 x0 Δx² + Δx³

Δf 3x₀Δx + 3x₀Δx + Δx³

2) Найдем ― = = 3x₀ + 3x₀Δx + Δx²

Δx Δx

3) Вычислим lim (3x₀ + 3x₀Δx + Δx² ) = 3x₀ => f ^/ (x₀) = 3x₀²

^{ΔX 0}

3.Правила дифференцирования.

Пусть u (x₀) = u , v (x₀) = v – некоторые дифференцируемые в точке х₀ функции, тогда

а) (u + v )^/ = u ^/ + v ^/

б) ( uv ) ^/ = u ^/ v + u v ^/

в) (u / v) ^/ = u ^/v – u v^/

v²

г) ( cu ^/ ) = c u ^/

д) (u (v (x))) ^/ = u ^/ (v (x)) v ^/ (x)

Примеры: а) (х² + х³ ) = 2х + 3х²

б) ( е^х · х² ) = е^х · х² + е^х · 2х = е^х ( х² + 2х ) = х е^х ( х +2 )

в) ( 5 х³ )^/ = 5 ( x³ ) ^/ = 5 · 3 x² = 15 x²

г) ( sin 2x ) ^/ = cos 2x (2x) ^/ = 2 cos 2x