3.3 Ряды распределения и их графическое изображение

Ряд распределения – это простая группировка, в которой для характеристики групп (упорядоченно расположенных по значению признака) применяется один показатель – численность группы.

Ряды распределения, построенные по атрибутивным признакам, называют атрибутивными. Например, распределение населения по полу, занятости, семейному положению и т.д.

Ряды распределения, построенные по количественному признаку, называют вариационными. Например, распределение населения по возрасту, рабочих – по стажу работы, квалификации и т.д.

Вариационные ряды распределения состоят из двух элементов: вариантов и частот.

Числовые значения количественного признака в вариационном ряду называют вариантами (х_i). Они могут быть положительными и отрицательными, абсолютными и относительными. Так, при группировке предприятий по результатам хозяйственной деятельности варианты положительные (прибыль) и отрицательные (убыток) числа.

Частоты – это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, то есть числа, показывающие как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения (обычно обозначают буквой f_i ). Сумма всех частот называется объемом совокупности (N= f_i ).

Частости – это частоты, выраженные в виде относительных величин (долях единиц или процентах). Сумма частостей равна 1 или 100% ( w=1 или w=100%).

Вариационные ряды в зависимости от характера вариации делятся на дискретные и интервальные. Дискретные вариационные ряды основаны на дискретных (прерывных) признаках, имеющих только целые значения (например, число детей в семье, тарифный разряд рабочего и т.д.), а также на дискретных признаках, представленных в виде интервалов; интервальные - на непрерывных признаках (имеющих любые значения, в том числе и дробные). Примером последнего является распределение предприятий по численности работников, размеру капитала, объему произведенной продукции и др.

Первым шагом в упорядочении первичного ряда является его ранжирование, то есть расположение всех вариантов в возрастающим (или убывающем) порядке.

Например, стаж работы 22 рабочих бригады характеризуется следующим образом:

2,4,5,5,6,6,5,6,6,7,7,8,8,9,10,11,4,3,3,4,4,5

Ранжированный ряд:

2,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,6,6, 6,6,7,7,8,8,9,10,11

Ряд распределения принято оформлять в виде таблицы, состоящий из двух граф (или строк), в одной из которых приводятся варианты, а в другой – частоты. В данном случае ряд распределения рабочих по стажу можно представить в виде дискретного ряда распределения, имеющего целые числа:

х_i- Стаж работы, лет 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

f_i Число работников, чел. 1 2 4 4 4 2 2 1 1 1

Однако такое распределение слишком раздроблено и не дает целостного представления о распределении рабочих по стажу. Поэтому, целесообразно для построения ряда распределения непрерывно изменяющихся признаков установить оптимальное число групп (интервалов), на которое следует разбить все единицы совокупности. При группировке внутри однокачественной совокупности появляется возможность применения равных интервалов, число которых зависит от вариации признака в совокупности и от объема совокупности.

В данном примере число групп (интервалов) определяем по формуле Стерджесса: n =1+3,322lgN, где n – число групп, на которое нужно разбить совокупность рабочих по стажу, N – объем совокупности или число рабочих в бригаде

N = 22 n = 1+3,322lgN = 5

Тогда величина интервала будет равна

I = года

В результате получим следующий ряд распределения рабочих по стажу работы:

х_i ….2-4 4-6 6-8 8-10 10-12

f_i …. .3 8 6 3 2

Как видно, основная масса рабочих бригады имеет стаж от 4 до 8 лет.

Анализ рядов распределения сопровождается их графическим изображением. Для отображения вариационных рядов распределения используются следующие графики: полигон, гистограмма, кумулята и огива.

Полигон применяют для графического изображения дискретного ряда. В прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываются варианты признака, а по оси ординат - частости каждого варианта. На пересечении абсциссы и ординаты фиксируют точки, соответствующие данному ряду распределения. Соединив эти точки прямыми, получим ломаную, которая и является полигоном, или эмпирической кривой распределения.

Гистограмма применяется для графического изображения непрерывных (интервальных) вариационных рядов. При этом на оси абсцисс откладывают интервалы ряда. На этих отрезках строят прямоугольники, высота которых по оси ординат в принятом масштабе соответствует частотам. При равных интервалах по оси абсцисс откладывают прямоугольники, сомкнутые друг с другом, с равными основаниями и ординатами, пропорциональными весам. Данный ступенчатый многоугольник и называется гистограммой. Гистограмма может быть преобразована в полигон распределения, для чего середины верхних сторон прямоугольников соединяют отрезками прямых. В случае неравенства интервалов график строится не по частотам или частостям, а по плотности распределения (отношению частот или частостей к величине интервала), и тогда высоты прямоугольников графика будут соответствовать величинам этой плотности.

Кумулята изображает кумулятивные ряды распределения, где по оси абсцисс откладывают варианты признака, а по оси ординат – накопленные частоты или частости. Полученные точки соединяют прямыми, образующими кумуляту. При построении кумуляты интервального ряда распределения нижней границе первого интервала соответствует частота, равная нулю, а верхней границе - вся частота данного интервала. Верхней границе второго интервала соответствует накопленная частота, равная сумме частот первых двух интервалов и т.д.

Ордината кумулятивного графика показывает, сколько единиц или какая часть совокупности имеет значение признака, не превышающее указанного на оси абсцисс.

Другой формой кумулятивного ряда распределения огива, в графике которой накопленные частоты берутся в обратном порядке, то есть от наибольшего к наименьшему значению изучаемого признака. Огива – это кумулята, где поменялись оси координат, то есть варианты откладывают на оси ординат, а накопленные частоты – на оси абсцисс. Поэтому абсцисса этого графика показывает, сколько единиц или какая часть совокупности имеет значение признака, не менее указанного на оси ординат.