5.3.1 Правило сложения дисперсий

Вариация признака обусловлена различными факторами. Некоторые из этих факторов можно выделить, если разбить совокупность на группы по какому-либо признаку. В этом случае изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

• Общая дисперсия ² измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей средней и может быть вычислена как

²= или ²=

• Межгрупповая дисперсия ² характеризует вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака – фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних _i от общей средней :

²=

где f - численность единиц в группе.

• Внутригрупповая (частная) дисперсия отражает случайную вариацию, то есть часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы _i - групповой средней и может быть исчислена как

_i²= или _i²=

На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе, то есть на основании _i² можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий:

_i²=

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

²= _i²+ ²

Пользуясь этим правилом можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью – неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Рассмотрим пример.

Таблица 5.3.1 Распределение рабочих по среднечасовой выработке изделий

№ пп	Рабочие IV разряда			№ пп	Рабочие V разряда
	Выработка рабочего, шт. уi	у-	(у- )		Выработка рабочего, шт. уi	у-	(у- )
1	7	-3	9	1	14	-1	1
2	9	-1	1	2	14	-1	1
3	9	-1	1	3	15	0	0
4	10	0	0	4	17	2	4
5	12	2	4
6	13	3	9
	60	-	24		60	-	6

Квалификация рабочих – факторный признак. Он является группировочным.

Выработка рабочего – результативный признак – варьирует как под влиянием группировочного факторного признака – квалификации (межгрупповая дисперсия),так и под влиянием неучтенных случайных факторов (внутригрупповая дисперсия). Измерим эти вариации с помощью дисперсии:

1. Для расчета групповых исчислим средние выработки

по каждой группе и общую среднюю выработку, шт.:

- по первой группе

- по второй группе

- по двум группам

Рассчитаем внутригрупповые дисперсии:

- по первой группе

- по второй группе

Внутригрупповые дисперсии показывают вариации выработки внутри каждой группы под влиянием всевозможных факторов (стаж работы, возраст, состояние оборудования и т.д.), кроме различий в квалификации (внутри группы все рабочие имеют одну квалификацию).

2. Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий по

формуле:

_i²= =

Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует вариацию выработки, обусловленную всеми факторами, кроме квалификации рабочих, в среднем по совокупности.

3. Исчислим межгрупповую дисперсию:

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию выработки рабочих под влиянием квалификации.

4. Рассчитаем общую дисперсию:

5. Общая дисперсия представляет сумму средней из внутригрупповых и межгрупповой:

²= _i²+ ²=3+6=9,0

Очевидно, чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый признак.

Для измерения доли вариации результативного признака у под влиянием факторного признака х используется эмпирический коэффициент детерминации:

При отсутствии связи коэффициент детерминации равен нулю, при функциональной связи – единице.

В нашем примере

или 66,7%

Это означает, что на 66,7% вариация выработки рабочих обусловлена различиями в их квалификации и на 33,3% - влиянием прочих факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение – это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:

Оно показывает тесноту связи между выработкой и уровнем квалификации рабочего.

Эмпирическое корреляционное отношение , как и , может принимать значения от 0 до 1.

Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю, если связь функциональная - оно равно единице. Чем значение ближе к единице, тем теснее связь между признаками.

Для качественной оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения можно воспользоваться соотношением Чэддока:

0,1-0,3 0,3-0,5 0,5-0,7 0,7-0,9 0,9-0,99

сила слабая умеренная заметная тесная весьма

связи тесная

В нашем примере =0,817, что свидетельствует о тесной связи между квалификацией рабочих и производительности их труда.

Контрольные вопросы:

1. В чем смысл научно-обоснованного использования средних величин?

2. Какие виды средних используются в статистике?

3. Как исчисляется средняя арифметическая простая и в каких случаях она применяется?

4. Как исчисляется средняя арифметическая взвешенная и в каких случаях она применяется?

5. Для чего служит средняя гармоническая? Чем она отличается от средней арифметической?

6. Как исчисляется средняя геометрическая и в каких случаях она применяется?

7. Что такое размах вариации, в чем его недостаток как показателя вариации?

8. Что собой представляет среднее линейное отклонение, в чем его недостатки как показателя вариации?

9. Что собой представляет дисперсия и как она исчисляется?

10. Коэффициент вариации как показатель, его значение для экономического анализа.

11. Что собой представляет правило сложения дисперсий, в чем его практическое значение?

12. Что называется эмпирическим коэффициентом детерминации, каков его смысл?

13. Что называется эмпирическим корреляционным отношением, в чем его смысл?

Тесты:

1. Основное условие научно обоснованного использования средних величин:

а) качественная однородность единиц совокупности;

б) качественная разнородность единиц совокупности;

в) многообразие единиц совокупности.

2. При расчете средней арифметической взвешенной в качестве весов:

а) могут быть использованы относительные величины;

б) не могут быть использованы относительные величины.

3. Ряд распределения может иметь:

а) одну медиану;

б) две медианы;

в) более двух медиан.

4. Имеются данные о средней цене и выручке от реализации каждой партии товара «А». Какой вид средней используется для расчета средней цены?

а) средняя арифметическая простая;

б) средняя арифметическая взвешенная;

в) средняя гармоническая;

г) средняя геометрическая.

5. Имеются данные о фактической стоимости товарной продукции и проценте выполнения плана по подразделениям предприятия. Какой вид средней используется для расчета среднего процента выполнения плана по предприятию?

а) средняя арифметическая взвешенная;

б) средняя хронологическая;

в) средняя гармоническая.

6. . Имеются данные о плановой стоимости товарной продукции и проценте выполнения плана по подразделениям предприятия. Какой вид средней используется для расчета среднего процента выполнения плана по предприятию?

а) средняя арифметическая взвешенная;

б) средняя хронологическая;

в) средняя гармоническая.

7. Средние темпы роста определяются по средней:

а) арифметической;

б) геометрической;

в) гармонической.

8. Имеются данные о численности работников на первое число каждого месяца года. Как определить среднегодовую численность работников:

а) по средней арифметической;

б) по средней гармонической;

в) по средней хронологической.

9.Мода – это:

а) значение признака, находящегося в середине ряда распределения;

б) значение наиболее часто встречаемого признака .

10.Совокупность называется однородной, если коэффициент вариации:

а) больше 30 %;

б) меньше 30 %.

11. Дисперсия – величина именованная.

а) да;

б) нет.