- •Расчет надежности проектируемых систем
- •Цель работы
- •3. Порядок выполнения работы
- •Требования к отчету
- •5. Контрольные вопросы
- •Список литературы
- •1. Цель работы
- •Теоретическая часть
- •2.1. Методология
- •2.2. Символика и логические методы
- •3. Количественный анализ
- •3.1. Правило 4. Правило выбора масштабов для продукции и времени
- •3.2. Определение вероятностей головного события
- •3.3. Этапы использования количественного анализа
- •4. Порядок выполнения работы
- •4.1. Описание программы
- •4.2. Перемещение элемента
- •4.3. Добавление нового элемента и его связь с деревом отказов
- •4.4. Последовательность выполнения работы
- •5. Требования к отчету
- •6. Контрольные вопросы
- •2. Теоретические сведения
- •Порядок выполнения работы
- •4. Требования к отчету
- •Контрольные вопросы
- •Список литературы
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
Расчет надежности проектируемых систем
Цель работы
Изучение метода дифференциальных уравнений.
2. Теоретическая часть
Метод основан на допущении о показательных распределениях времени (наработки) между отказами и времени восстановления. Параметр потока отказов ==1/mt, интенсивность восстановления =1/mtв, где mt - среднее время до отказа (между отказами); mtв - среднее время восстановления.
Метод дифференциальных уравнений может быть использован при расчете надежности как восстанавливаемых, так и невосстанавливаемых систем. Для применения метода необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы, в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.
Чтобы определить показатели надежности, составляют и решают систему дифференциальных уравнений для вероятностей состоянии (уравнений Колмогорова).
Обычно предполагают, что отказавшие объекты начинают немедленно восстанавливаться и отсутствует число ограничений на число восстановлений.
Математическую модель обычно изображают в виде графа (схемы) состояний, ниже приведен пример графа состояний.
n 1
. n 1
. 3 3 2 2
.
При невосстанавливаемой системе между состояниями имеется лишь по одной стрелке.
Для определения вероятностей pj(t) нахождения системы в момент времени t в j-м состоянии можно составить по графу состояний систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для приведенного графа состояний имеем:
;
;
.
.
.
Уравнение для состояния 0 опускается из-за громоздкости. Система дифференциальных уравнений дополняется нормировочным условием .
Все множество возможных состояний системы разбивается на два: подмножество состояний n1, в которых система находится в работоспособном состоянии и n2 – подмножество неработоспособных состояний.
Когда выписывают коэффициент готовности или коэффициент простоя (перерывы в работе системы допустимы), рассматривают установившийся режим эксплуатации при . При этом все производные и система дифференциальных уравнений переходит в систему алгебраических уравнений.
Рассмотрим в качестве примера вычисление коэффициента готовности КГС системы, состоящей из n элементов, коэффициенты готовности которых КГ1,КГ2, … КГn . При отказе одного из элементов отказывает вся система.
Граф состояний системы изображен выше. На графе обозначены следующие возможные состояния:
0 - все элементы работоспособны;
1- элемент неработоспособен, остальные работоспособны;
2 - второй элемент неработоспособен, остальные работоспособны;
3 - третий элемент неработоспособен, остальные работоспособны и т.д.
Вероятности одновременного появления двух неработоспособных элементов пренебрежимо малы. Символами , ,… обозначены интенсивности отказов; , ,…, - интенсивности восстановления соответствующих элементов. При установившемся режиме эксплуатации
;
;
.
.
.
Решив полученную систему алгебраических уравнений, с учетом нормировочного условия получим
. (1)
Вероятность нахождения в j -м состоянии .
Из соотношения имеем: (2)
Подставив (2) в (1), получаем
.
Пусть, например, КГ1=0,61; КГ2=0,72; КГ3=0,63.
Получаем
.