Математические основы алгебры Буля.

y_i= f_i(x₁, x₂…x_n), i=1,2…m

n - входы

m - выходы

f_i – переключательная функция.

Алгебра Буля:

1. Логическая сумма (дизьюнкция). a+b,

2. Логическое произведение (коньюнкция) a*b, a&b,

3. Отрицание

1.Сочитательный закон

2. Распределительный закон.

3.Правило Де Морган.

На ряду с дизьюнкцией, коньюнкцией и отрицанием практическое применение находят и другие функции, все они могут быть выражены через «И» «ИЛИ» «НЕ».

Импликация: , если а=0 b=1

Функция запрета: , если а=1 и b=0

Функция Пирса: , если а=0, b=0, p=1

Функция Шеффера: , если (а или b) =0

Для функции Пирса и Шеффера справедлив распределительный закон и не справедлив сочетательный.

Функция логической равнозначности (сложение по модулю 2) Справедливы сочетательный и распределительный законы. Если , то .

Алгебра множеств.

- X принадлежит множеству А.

- не принадлежит.

1. - S является подмножеством Т

2. , то множество S и Т

3. - пересечение множеств S и T;

4. - объединение множеств;

5. - не пересекаемые множества

6. S \ T - разность множеств – это элементы S, которые не

Релейно-контактные логические элементы.

Логическую функцию определяющую зависимость состояния выходов сигнала от входа сигнала можно реализовать на релейно-контактных элементов, представляет собой электромагнитный контакт.

Поскольку функция дизьюнкции равна 1, если хотя бы одна переменная на входе равна 1. Это равносильно параллельному включению контактов реле.

Функция коньюнкции предполагает последовательному включению контактов.

Диодные логические элементы.

Функция «НЕ» реализуется с помощью 2-х источников питания. Если отсутствует входной сигнал x, то диод V₁ открыт и на входе будет высокий потенциал от V_n. Если на входе x подан отрицательный потенциал, то диод V₁ закроется, ток через R_n на протекает на выходе потенциал равен 0 малая нагрузочная способность и длительное время затухания сигнала.

Транзисторные логические элементы.

Операция «ИЛИ» реализуется если открыт хотябы один из транзисторов. В функции «И» должны быть открыты 2 транзистора. Функция «НЕ» ключ с нагрузкой цепи коллектора.

Реализация логических функций с

помощью постоянных запоминающих устройств (ПЗУ).

Структурная схема ПЗУ.

ДА – дешифратор адреса.

2ⁿ -количество элементов памяти.

Комбинация входных сигналов поступающих на адресную шину ПЗУ представляет собой код адреса ячеек накопителя. Дешифратор адреса преобразует этот код и вырабатывает соответствующий сигнал на соответствующую шину матрицы накопителя.

В результате анализа комбинации входных сигналов выбирается одно из выходных слов, которое затем через выходной буфер подаётся на шины данных ПЗУ.

Матрица накопитель представляет собой совокупность взаимно перпендикулярных шин, которые при занесении информации связываются между собой в пересечениях установленных в программе записи ПЗУ.

Если на стадии проектирования допущена ошибка, то содержимое ПЗУ не может быть изменено. Этот недостаток устраняется с помощью выпускаемых перепраграммированных ПЗУ (ППЗУ). В данном случае информация заносится самим потребителем уже после изготовления устройства (однократно и многократно программируемые).

Высокая область применения ПЗУ – это реализация логических функций, при этом адресом являются коньюктивные члены уравнений, и содержимым те функции которые необходимо получить (функции управления). В этом случае методы управления уравнений при реализации на ПЗУ теряют смысл т.к. функции необходимы в совершенной дизьюктивной нормальной форме (СДНФ).

Пример:

Из уравнений видно, что в образовании коньюкции участвуют 5 переменных, а коньюктивные члены образуют 4 функции. Это значит, что для реализации логической функции необходимо на 5 входов 4 выхода. Таким образом матрица накопитель должна содержать 2⁵*4=128 ячеек памяти. Поскольку ПЗУ имеет 5 входов, то адрес всегда должен состоять из 5 двоичных символов. Однако в уравнениях не все коньюнкции представлены 5 переменными.

Переход от 3-х и 4-х переменных к 5-ти иллюстрируется следующим примером: