5.2.Деятельность по введению математических понятий

Нельзя внести точность в рассуждения, если

она сначала не введена в определения.

Д. Гершель

Понятия являются главными составляющими любой науки, каждого учебного предмета. В нашем исследовании, исходящем из признания приоритета предмета познавательной деятельности в процессе обучения математике (с. 30), обеих его сторон (логико-операционной и содержательной), математическим понятиям отводится особое внимание.

Обеспечение полноценного усвоения математических понятий — программное требование и одна из главных задач учителя. Обращение к школьной практике показывает, что «… эта задача решается не так успешно, как того требуют цели общеобразовательной школы» [128, с. 187]. Об этом свидетельствуют и результаты обучения (см. выше), а также многочисленные исследования, в частности Н.Ф. Талызиной. Главным недостатком школьного усвоения понятий издавна считается формализм, суть которого состоит в том, что учащиеся, правильно воспроизводя определения понятий, не умеют пользоваться ими в процессе решения задач и доказательстве утверждений. Если считать формулирование учеником определения понятия осознанием его содержания, то неумение пользоваться им при ориентировке в предметной действительности называется не иначе как формализмом в знаниях.

До настоящего времени сохраняется главная причина этого явления. Мы разделяем мнение Н.Ф. Талызиной, что формализм в усвоении школьниками понятий (в том числе и математических) сохраняется ввиду отсутствия в обучении (в учебниках) ознакомления учащегося с логической структурой определения. Заучив огромное количество различных конкретных определений, ученик не может восстановить при необходимости забытое, «так как не знает структуры определений, не владеет правилами их построения» [128, с. 73].

Еще раз наглядно продемонстрируем роль понятий и их определений в доказательстве утверждения на примере одной из первых теорем геометрии: при изучении свойства вертикальных углов. Сначала представим определения развернутого угла и вертикальных углов, используемые в доказательстве. В текстовой формулировке выделены определяемое понятие, родовое понятие и видовые отличия. Приведена символическая запись этих определений.

А О В Рис. 18	Р азвернутым углом называют угол, у которого стороны являются дополнительными полупрямыми (лучами). Развернутый угол : – дополнительные полупрямые (лучи).
А В О С D Рис. 19	Вертикальными углами называют два угла, у которых стороны одного являются дополнительными лучами к сторонам другого. Вертикальные углы : – дополнительные лучи.

Теорема о вертикальных углах имеет импликативную структуру:

O А D В C Рис. 20

Дано: и — вертикальные углы. Доказать: = .

Доказательство представим дедуктивным рассуждением, иллюстрирующим применение определений понятий. Сравнение приведенного доказательства с изложением этой теоремы в любом учебнике показывает, что определения понятий использованы не только на уровне термина, представления (образа), но с воспроизведением и полным выделением определяющих признаков. Это значит, что овладение понятием продолжается в ходе изучения его свойств, причем используется символическая запись определяющих признаков понятия.

Доказательство Таблица 3
Малая посылка	Большая посылка	Утверждение
и — вертикальные	Определение вертикальных углов	[OA) и [OC), [OB) и [OD) – дополнительные полупрямые
[OA) и [OC), [OB) и [OD) – дополнительные полупрямые	Определение развернутого угла	, – развернутые
– развернутый, – развернутый.	Свойство измерения развернутого угла	= , =
= , [OВ) – луч, проходящий между сторонами	Аксиома измерения угла	=
= , =	Подстановка и преобразование числового равенства
= , [OС) – луч, проходящий между сторонами	Аксиома измерения угла
,	Свойство числовых равенств (транзитивность)

Применение определения понятия в доказательстве, представленном дедуктивным рассуждением (табл. 3), актуализирует действие подведение под понятие, требует использования определения в новой ситуации. Многократное применение определения в развернутой форме, бесспорно, способствует сознательному, а не формальному его усвоению.

Деятельностный подход к обучению при формировании понятий означает, что «понятие не может быть передано учащимся в готовом виде, они должны получить его сами, взаимодействуя с относящимися к нему предметами. … Определение задает как бы точку зрения — ориентировочную основу — для оценки предметов, с которыми взаимодействует обучаемый. … Такая реальная работа по оценке различных предметов постепенно создает в голове ученика адекватное понятие как обобщенный и абстрактный образ предметов данного класса» [128, с.194]. И, как точно отмечает далее Н.Ф. Талызина, получение определения понятия — это лишь первый шаг на пути усвоения понятия. Следующий шаг — включение определения понятия в действия учащихся с соответствующими объектами (выведение следствий определения, подведение под понятие, классификация понятия), которые они выполняют и с помощью которых в сознании учащихся создается понятие об этих объектах. Таким образом, овладение понятием предполагает:

• усвоение определения понятия, которое является результатом действия определения (описания) понятия;

• распознавание объектов, входящих в объем изученного понятия;

• изучение существенных признаков понятия, не входящих в определение (выведение следствий из определения и изучение других свойств, представленных в теоремах);

• выделение частных видов понятия или его обобщение; применение содержания понятия в решении задач и дальнейшем изучении предмета.

Опишем структуру и содержание деятельности учащихся, систематическое и планомерное осуществление которой способствует формированию учебных действий, воспитанию познавательных привычек при изучении нового понятия.