2. Алгоритм применения формулы средних прямоугольников
Разбить отрезок [a,b] на n частичных отрезков (построить на отрезке [a,b] сетку с шагом h=(b-a)/n) x0=a, xi= x0+i*h, i =1,2….n, xn=b).
Посчитать координаты средних точек частичных отрезков xi-1/2= (xi-1+ xi)/2,
Вычислить значения функции f(x) в средних точках fi-1/2= f(xi-1/2).
Вычислить площади частичных прямоугольников по формуле средних прямоугольников
Найти приближенное значение интеграла по формуле
Р азбить отрезок [a,b] на 2n частичных отрезков (построить на отрезке [a,b] сетку с шагом h/2 x0=a, xi= x0+i*h, i =1,2….n, xn=b). Найти приближенное значение интеграла с новым шагом Ih/2.
Произвести оценку погрешности по формуле Рунге (p - порядок точности квадратурной формулы, для формулы средних прямоугольников p=2)
Продолжать уменьшать шаг, пока погрешность не станет меньше требуемой точности ri<.
Для проверки вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Пример реализации алгоритма в Excel
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
N |
O |
P |
Q |
R |
S |
T |
U |
V |
|
1 |
Вычисление определенного интеграла по формуле средних прямоугольников (подинтегральная функция f(x)=1/x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
Границы интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
A |
1 |
|
n |
10 |
количество частичных отрезков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
B |
2 |
|
h |
0,1 |
шаг сетки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
iI |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Xi |
1 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
Xi-1/2 |
1,05 |
1,15 |
1,25 |
1,35 |
1,45 |
1,55 |
1,65 |
1,75 |
1,85 |
1,95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
Fi |
1,00 |
0,91 |
0,83 |
0,77 |
0,71 |
0,67 |
0,63 |
0,59 |
0,56 |
0,53 |
0,50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
Fi-1/2 |
0,95 |
0,87 |
0,80 |
0,74 |
0,69 |
0,65 |
0,61 |
0,57 |
0,54 |
0,51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
si |
0,09 |
0,08 |
0,08 |
0,07 |
0,06 |
0,06 |
0,06 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
Sh |
0,69283536 |
Приближенное значение интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14 |
I |
0,69314718 |
Точное значение интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
Границы интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17 |
A |
1 |
|
n |
20 |
количество частичных отрезков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
18 |
B |
2 |
|
h |
0,05 |
шаг сетки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
II |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
21 |
Xi |
1 |
1,05 |
1,1 |
1,15 |
1,2 |
1,25 |
1,3 |
1,35 |
1,4 |
1,45 |
1,5 |
1,55 |
1,6 |
1,65 |
1,7 |
1,75 |
1,8 |
1,85 |
1,9 |
1,95 |
2 |
|
22 |
Xi-1/2 |
1,03 |
1,08 |
1,13 |
1,18 |
1,23 |
1,28 |
1,33 |
1,38 |
1,43 |
1,48 |
1,53 |
1,58 |
1,63 |
1,68 |
1,73 |
1,78 |
1,83 |
1,88 |
1,93 |
1,98 |
|
|
23 |
Fi |
1,00 |
0,95 |
0,91 |
0,87 |
0,83 |
0,80 |
0,77 |
0,74 |
0,71 |
0,69 |
0,67 |
0,65 |
0,63 |
0,61 |
0,59 |
0,57 |
0,56 |
0,54 |
0,53 |
0,51 |
0,50 |
|
24 |
Fi-1/2 |
0,98 |
0,93 |
0,89 |
0,85 |
0,82 |
0,78 |
0,75 |
0,73 |
0,70 |
0,68 |
0,66 |
0,63 |
0,62 |
0,60 |
0,58 |
0,56 |
0,55 |
0,53 |
0,52 |
0,51 |
|
|
25 |
si |
0,04 |
0,04 |
0,04 |
0,04 |
0,04 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,02 |
0,02 |
0,02 |
0,02 |
0,02 |
0,02 |
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
Sh/2 |
0,693069098 |
|
приближенное значение интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
28 |
I |
0,693147181 |
|
точное значение интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
r |
7,79126E-05 |
погрешность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|