Лабораторная работа n 14. Численное интегрирование. Квадратурные формулы. Задание
Вычислить
интеграл
с точностью
По формуле левых(правых) прямоугольников =10-1
По формуле средних прямоугольников =10-2
По формуле трапеций =10-2
По формуле Симпсона =10-4
Алгоритмы применения формулы левых (правых) прямоугольников
Разбить отрезок [a,b] на n частичных отрезков (построить на отрезке [a,b] сетку с шагом h=(b-a)/n) x0=a, xi= x0+i*h, i =1,2….n, xn=b).
Вычислить значения функции f(x) в узлах сетки fi= f(xi).
Вычислить площади частичных прямоугольников по формуле левых прямоугольников
и
ли
правых прямоугольников
Найти приближенное значение интеграла по формуле
Р
азбить
отрезок [a,b]
на 2n
частичных отрезков (построить на отрезке
[a,b]
сетку с шагом h/2
x0=a,
xi=
x0+i*h,
i
=1,2….n,
xn=b).
Найти приближенное значение интеграла
с новым шагом Ih/2.Произвести оценку погрешности по формуле Рунге (p - порядок точности квадратурной формулы, для формулы левых и правых прямоугольников p=1)
Продолжать уменьшать шаг, пока погрешность не станет меньше требуемой точности ri<.
Для проверки вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.
Пример реализации алгоритма в Excel
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
N |
O |
P |
Q |
R |
S |
T |
U |
V |
|
1 |
Вычисление определенного интеграла по формуле левых прямоугольников (подинтегральная функция f(x)=1/x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
Границы интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
A |
1 |
|
n |
10 |
количество частичных отрезков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
B |
2 |
|
h |
0,1 |
шаг сетки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
II |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Xi |
1 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
Fi |
1,00 |
0,91 |
0,83 |
0,77 |
0,71 |
0,67 |
0,63 |
0,59 |
0,56 |
0,53 |
0,50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
Si |
0,1 |
0,09 |
0,08 |
0,08 |
0,07 |
0,07 |
0,06 |
0,06 |
0,06 |
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
S h |
0,71877140 |
Приближенное значение интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14 |
I |
0,69314718 |
Точное значение интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
Границы интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17 |
A |
1 |
|
n |
20 |
количество частичных отрезков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
18 |
B |
2 |
|
h |
0,05 |
шаг сетки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
II |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
21 |
Xi |
1 |
1,05 |
1,1 |
1,15 |
1,2 |
1,25 |
1,3 |
1,35 |
1,4 |
1,45 |
1,5 |
1,55 |
1,6 |
1,65 |
1,7 |
1,75 |
1,8 |
1,85 |
1,9 |
1,95 |
2 |
|
23 |
Fi |
1,00 |
0,95 |
0,91 |
0,87 |
0,83 |
0,80 |
0,77 |
0,74 |
0,71 |
0,69 |
0,67 |
0,65 |
0,63 |
0,61 |
0,59 |
0,57 |
0,56 |
0,54 |
0,53 |
0,51 |
0,50 |
|
25 |
si |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,04 |
0,04 |
0,04 |
0,04 |
0,04 |
0,04 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
S h/2 |
0,705803382 |
|
приближенное значение интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
28 |
I |
0,693147181 |
|
точное значение интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
r |
0,01296802 |
погрешность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|