Змістовий модуль 3 елементи аналітичної геометрії

Тема 3.1. Система координат на площині.

3.1.1. Основні поняття.

3.1.2. Основні застосування метода координат на площині.

3.1.3. Перетворення системи координат.

Тема 3.2. Лінії на площині.

3.2.1. Основні поняття.

3.2.2. Рівняння прямої на площині.

3.2.3. Пряма лінія на площині. Основні задачі.

Тема 3.3. Лінії другого порядку на площині.

3.3.1. Основні поняття.

3.3.2. Коло.

3.3.3. Еліпс.

3.3.4. Гіпербола.

3.3.5. Парабола.

3.3.6. Загальне рівняння ліній другого порядку.

Тема 3.1. Система координат на площині.

3.1.1. Основні поняття.

Під системою координат на площині розуміють спосіб, що дозволяє чисельно описати положення точки на площині. Однією з таких систем є прямокутна (декартова) система координат.

рис.. 1.

Прямокутна система координат задається двома взаємно перпендикулярними прямими — осями, на кожній з яких вибрано додатній напрямок і задано одиничний (масштабний) відрізок. Одиницю масштабу звичайно беруть однаковою для обох осей. Ці осі називають осями координат, точку її перетину О — початком координат. Одну із осей називають віссю абсцис (віссю Ох), іншу — віссю ординат (віссю Оу) (рис. 1).

На малюнках вісь абсцис звичайно розташовують горизонтально і направленою зліва направо, а вісь ординат — вертикально і направленою знизу вгору. Вісі координат ділять площину на чотири області — чверті (або квадранти).

Одиничні вектори осей позначають і ( , ).

Систему координат позначають Оху (або ), а площину, в якій розташована система координат, називають координатною площиною.

Розглянемо довільну точку М площини Оху. Вектор ОМ називається радіус-вектором точки М.

Координатами точки М у системі координат Оху ( ) називаються координати радіус-вектора ОМ. Якщо ОМ — (х,у), то координати точки М записують так: М(х;у), число х називається абсцисою точки М, у — ординатою точки М.

Ці два числа х і у повністю визначають положення точки на площині, а саме: кожній парі чисел х і у відповідає єдина точка М площини, і навпаки.

Другою практично важливою системою координат є полярна система координат. Полярна система координат задається точкою О, що називається полюсом, променем Ор, що називається полярною віссю, і одиничним вектором того ж напрямку, що і промінь Ор.

рис. 2.

Візьмемо на площині точку М, не співпадаючу з О. Положення точки М визначається двома числами: її довжиною від полюса О і кутом , утвореним відрізком ОМ з полярною віссю (відрахування кутів ведеться в напрямку, протилежному руху годинникової стрілки) (див. рис. 2).

Числа і називаються полярними координатами точки М, пишуть М( ; ) , при цьому називають полярним радіусом, — полярним кутом.

Для отримання всіх точок площини достатньо полярний кут обмежити проміжком (або ), а полярний радіус — . В цьому випадку кожній точці площині (окрім O) відповідає єдина пара чисел і, і навпаки.

Встановимо зв'язок між прямокутними і полярними координатами. Для цього сумістимо полюс О з початком координат системи Оху, а полярну вісь — з позитивною піввіссю Ох. Нехай х і у — прямокутні координати точки М, а і – її полярні координати.

З малюнка 3 видно, що прямокутні координати точки М виражаються через полярні координати точки таким чином:

рис. 3.

Полярні ж координати точки М виражаються через її декартові координати (той же малюнок) такими формулами:

Визначаючи величину, слід встановити (по знаках х і у) чверть, в якій лежить шуканий кут, і враховувати, що < .

Приклад 1.1. Дана точка М(-1;- ). Знайти полярні координати точки М.

○ Знаходимо і :

, .

Звідси , . Але оскільки точка М лежить в 3-ій чверті, то n=-1 і . Отже, полярні координати точки М є, тобто .●