§3.9. Кирхгоф и его законы

Расчет электрических и магнитных цепей невозможен без применения трёх фунда-

ментальных законов электротехники: закона Ома и двух законов ( 1-й и 2-й ) Кирхгофа.

Как известно, Ом опубликовал свою знаменитую статью «Определение закона, по которому металлы проводят контактное электричество» в 1826 г. Этот закон был сформу-

лирован для неразветвлённой цепи постоянного тока или её участка.

Между тем, на практике, большая часть электрических цепей – разветвлённые, т.е. состоящие из нескольких неразветвлённых цепей. Простейший пример – все бытовые при-

боры в квартире включены параллельно, т.е. двухпроводная цепь, идущая от электрическо

го счётчика на лестничной площадке в квартиру, состоит из нескольких ( по числу приём

ников электроэнергии ) неразветвлённых цепей.

Немецкий физик Густав Роберт Кирхгоф, родившийся в 1824 г., как говорят, «про-

должил дело» Ома и дал в руки и теоретиков и практиков ключ к решению сложных элек

трических и магнитных цепей.

Кирхгоф Г. Р.( 1824-1887 ).

Кирхгоф Густав Роберт - немецкий физик. Исследования в области электриче-

ства, оптики, математической физики, теории упругости, гидродинамики. Открыл ( 1845-1847 ) закономерности протекания электрического тока в разветвленных электрических цепях. Усовершенствовал теорию магнетизма Пуассона. Его именем названы законы распределения токов в электрических цепях и магнитных потоков в магнитных цепях.

Кирхгоф Г. Р. родился в Кенигсберге ( сейчас – г. Калининград на Балтийском мо-

ре, Россия. Есть ещё один город с таким же названием, но в Московской области ).

В 1846 г. окончил Кенигсбергский университет, профессор Бреславльского ( 1850 , сейчас – Вроцлав, Польша ), Гейдельбергского (с 1854) и Берлинского (с 1875) университе

тов.

Кирхгоф с детства был крайне любознательным ребенком ( «почемучка» ) , сохра-

нившим это качество и в более поздние годы.

Его интересы в науке касались электричества, меха­ники, оптики, математической физики, теории упругости, гидродинамики.

В 1845 - 47 гг. он от­крыл закономерности в протекании электри­ческого тока в раз-

ветвленных электрических цепях.

Тогда эти закономерности назывались проще: «правила Кирхгофа». Теперь же они имеют название «законы Кирхгофа», что подчёркивает их значимость в области электро-

техники.

Первый закон Кирхгофа для электрических цепей формулируется так:

алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю

= 0, ( 3.8 )

где n –число токов в узле.

Для второго закона Кирхгофа используют следующую формулировку:

в замкнутом контуре алгебраическая сумма эдс равна алгебраической сумме паде-

ний напряжений:

, ( 3.9 )

где n – число эдс в контуре;

m – число падений напряжений в контуре ( число резисторов в контуре ).

Более подробная информация по этим двум законам приведена ниже.

Аналогичные по смыслу уравнения используются для расчёта сложных магнитных цепей.

Уже этих двух законов было бы достаточно, чтобы навсегда оставить своё имя в истории электротехники.

Однако неблагодарные потомки так и не удосужились назвать какую-либо электро-

техническую величину его именем.

Словно предчувствуя это, а может быть, в силу врождённой любознательности, в

последующие годы Кирхгоф резко изменяет направленность своих научных исследова-

ний.

В 1859 г. он разра­ботал метод спектрального анализа и от­крыл новые элементы –

цезий (1860) и руби­дий (1861). Сейчас эти два элемента используются в лазерах.

Тогда же, в 1859 г. он открыл один из ос­новных законов теплового излучения, со­гласно которому отношение испускательной способности тела к поглощательной не зави­сит от природы излучающего тела (закон Кирхгофа – ещё один! )

В 1862 г. Кирхгоф предложил концепцию черного тела и дал его модель. Тогда же

он высказал предположение, что Солнце состоит из рас­каленной жидкой массы, окружён-

ной атмос­ферой пара.

В 1882 г. развил строгую теорию дифрак­ции ( дифракция – от лат. diffractus – разло

манный, огибание волнами, например, световыми, различных препятствий ).

Усовершенствовал теорию магнетизма Пуассона. Исследовал также упругость твер

дых тел, колебания пластин и дисков, форму свободной струи жидкости, движение тела в жидкой среде.

Избран членом Петербургской АН в 1862 г.

Приложение: 1-й и 2-й законы Кирхгофа ( для любознательных ).

1-й закон Кирхгофа

На практике применяют две равнозначные формулировки этого закона.

Первая формулировка звучит так:

алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю

= 0, ( 3.8 )

где n –число токов в узле.

При этом токи, приходящие к узлу, считаются ( условно ) положительными, а ухо-

дящие от узла – отрицательными.

Вторая формулировка ( более приниженная, для учащихся ПТУ ):

сумма токов, приходящих к узлу, равна сумме токов, уходящих от узла.

Уравнения, составленные на основании 1-го закона Кирхгофа, называются узловы-

ми.

Пример 3.1.

Для схемы на рис. 3.9 найти значение и направление тока I₄ , если остальные токи

имеют такие значения: I₁ = 10 А, I₂ = 15 А, I₃ = 1 А.

Рис. 3.9. Электрическая цепь постоянного тока: А – узел схемы

Решение

1. Поскольку направление тока I₄ неизвестно, выбираем его произвольно, напри-

мер, уходящим от узла А ( см. рис. 3.9, пунктирная стрелка ).

Если в результате расчета этот ток получится отрицательным, значит, он на самом деле направлен не от узла, а к узлу.

2. в соответствии с 1-м законом Кирхгофа, уравнение токов в узле А имеет вид

( первая формулировка ):

I₁ + I₃ - I₂ - I₄ = 0,

откуда

I₄ = I₁ + I₃ - I₂ = 10 + 1 – 15 = - 4 А.

3. поскольку ток I₄ имеет отрицательное значение, на самом деле он направлен к узлу А.

Проверка.

С учетом действительного направления тока I₄ ( к узлу А ), уравнение токов для узла А имеет вид:

I₁ + I₃ - I_{2 +} I₄ = 0.

Для проверки в это уравнение подставляем числовые значения токов:

10 + 1 – 15 + 4 = 0.

Поскольку в последнем выражении левая и правая части уравнения равны, решение правильное.

2-й закон Кирхгофа

Для демонстрации 2-го закона Кирхгофа используем схему электрической цепи

на рис. 3.10, а и б .

Рис. 3.10. Исходная электрическая цепь ( а ); та же цепь, подготовленная к составлению контурных уравнений по 2-му закону Кирхгофа ( б )

2-й закон Кирхгофа формулируется так:

в замкнутом контуре алгебраическая сумма эдс равна алгебраической сумме паде-

ний напряжений:

, ( 3.9 )

где n – число эдс в контуре;

m – число падений напряжений в контуре ( число резисторов в контуре ).

Уравнения, составленные на основании 2-го закона Кирхгофа, называются контур-

ными.

Предварительно, для удобства составления контурных уравнений, обозначим точ-

ками А, С, D, F углы прямоугольника, образованного схемой, а точками В и Е – узлы схемы ( рис. 3.10, а и б ).

Как следует из рис. 3.10, а, схема включает в себя три параллельные ветви:

левую ЕFАВ с ЭДС и резистором ;

среднюю с ЭДС и резистором ;

правую с ЭДС и резистором ;

В той же схеме два узла – это точки В и Е.

Наконец, в схеме три контура:

1. контур АВЕFA, включающий в себя левую и среднюю параллельные ветви;

2. контур ВСDЕB, включающий в себя среднюю и правую параллельные ветви;

3. контур АВСDЕFA, включающий в себя левую и правую параллельные ветви.

В буквенной записи контура первая и последняя буква должны быть одинаковыми, чтобы показать, что контур – это замкнутая часть сложной электрической цепи.

Перед составлением контурных уравнений преобразуем схему на рис.3.10, а в схе-

му на рис. 3.10, б таким образом:

1. Шаг 1-й.

В каждой параллельной ветви произвольно выберем направление тока , которое обозначим стрелками.

Например, ток , протекающий через резистор и ЭДС от узла В к узлу Е, направлен вниз ( как показано на рис. 3.10, б );

ток через ЭДС и резистор , от узла Е к узлу В - снизу вверх;

ток через резистор и ЭДС , от узла Е к узлу В - снизу вверх.

Направление токов выбирается произвольно потому, что заранее, без расчёта, ука-

зать ( угадать ) направление токов невозможно.

Если, в конце расчёта, значение какого-либо тока получится отрицательным, зна-

чит, действительное направление этого тока на самом деле противоположно выбранному в начале расчета. Это – не ошибка, ты – не экстрасенс!

2. Шаг 2-й.

Произвольно выбираем направление обхода каждого контура, по или против часо-

вой стрелки и обозначаем это направление дугообразными стрелками.

Например, выберем направление обхода контура АВЕFA по часовой стреле, конту-

ра ВСDЕB – также по часовой стрелке, контура АВСDЕFA – тоже по часовой стрелке ( на

рис. 3.10, б стрелка не показана – не было места на рисунке ).

При этом используем такое правило: порядок чередования букв в обозначении кон-

тура ( например, контура АВEFА ) и направление обхода контура должны совпадать.

Если, например, будет выбран обход контура в направлении против часовой стрел-

ки, то буквенное обозначение этого же контура надо записать так: АFEBA.

3. Шаг 3-й и последний.

Составляем контурные уравнения.

В соответствии с ( 3.6 ), каждое такое уравнение должно состоять из двух частей – левой и правой. В левую часть записываются электродвижущие силы, в правую – падения напряжений.

При этом используем 2 правила, одно – для определения знака ЭДС, второе – для определения знака падения напряжения.

Правило для определения знака ЭДС:

если при обходе контура направление ЭДС внутри источника совпадает с направ

лением обхода контура, то такая ЭДС положительна и вносится в левую часть контурного уравнения со знаком “плюс”, и наоборот.

Например, на рис. 3.10, б при обходе контура АВEFА стрелки при ЭДС Е₁ и E сов-

падают по направлению со стрелкой, обозначающей направление обхода, значит, обе ЭДС положительны. Поэтому для контур АВЕFA левая часть уравнения получит вид:

Е₁ + Е_{2 .}

Правило для определения знака падения напряжения на резисторе:

если в резисторе тока совпадает с направлением обхода контура , то падение на

пряжения на этом резисторе U = Ir положительно и вносится в правую часть уравнения со знаком “плюс”, и наоборот.

Например, на рис. 3.10, б при обходе контура АВEFА стрелки при токах и противоположны направлению обхода, значит, оба тока отрицательны. Поэтому правая часть уравнения такая:

- + ( - ) = - ( + ).

Сведя вместе обе части уравнения, для контура АВEFА окончательно получим:

Е₁ + Е₂ = _. - ( + ). ( 3.10 )

Рассуждая аналогично, для остальных двух контуров получим такие уравнения:

для контура ВСDЕB

- Е₂ - Е = , ( 3.11 )

для контура АВСDЕFA

Е - Е = _. - ( + ). ( 3.12 )

Первый и второй законы Кирхгофа используются для решения электрических це-

пей постоянного, переменного тока и магнитных цепей.

Применительно к электрическим цепям, суть расчёта состоит в следующем: по заданной принципиальной электрической схеме цепи и её параметрам – значениям ЭДС и сопротивлений, надо рассчитать токи в каждой ветви схемы.

В данном примере, для такого расчёта составляют систему из 3-х уравнений с тре-

мя неизвестными ( токами ).

При этом поступают так:

1. вначале составляют узловые уравнения как более простые. При этом число таких уравнений должно быть меньше числа узлов на одно ( т.к. при составлении узловых урав-

нений для всех узлов в общем числе таких уравнений два окажутся одинаковыми, только второе получается умножением первого на «-1» ).

В схеме на рис. 3.10, узлов – два, это точки В и Е, поэтому узловых уравнений должно быть одно, например, для точки В.

В соответствии с произвольно выбранными направлениями токов в ветвях ( рис. 3.10, б ), это уравнение имеет вид:

( 3.13 ).

Недостающие два уравнения – это контурные.

Выше, в качестве примера, составлены три контурных уравнения – для контуров АВEFА, ВСDЕB и АВСDЕFA . Из них выбираем два любых, например, для контуров АВEFА и ВСDЕB.

Тогда окончательно система из трёх уравнений получится такой:

Е₁ + Е₂ = _. - ( + ). ( 3.14 )

- Е₂ - Е = ,

Далее – дело техники, а именно: надо подставить в эти уравнения заданные по условию значения ЭДС Е₁ , Е₂ и Е , сопротивлений резисторов , и , и решить систе-

му любым удобным способом ( метод Гаусса, подстановки, исключения, через определи-

тель, с помощью программы Mathcad, и т.п. )