3) Сплайны, составленные из рациональных кривых Безье
Даже такие достаточно развитые средства аппроксимации кривыми Безье не позволяют построить окружность: , так как sin и cos для достаточно хорошего приближения требуют многочленов высокой степени, поэту вводится более широкий класс кривых, способ построения которых связан с представлением о проективном пространстве.
Рис. 14. Рациональная кривая Безье. |
Пусть у нас есть пространственная кривая Безье ,в системе координат OXYw, спроецируем все точки исходной кривой на плоскость w=1. Т.е. : , где (см. Рис. 14). Полученная кривая, лежащая в плоскости w=1, и называется рациональной двумерной кривой Безье.
|
Аналогичным образом можно получать рациональные кривые Безье и в пространстве большего числа измерений. будем называть опорными точками рациональной кривой Безье, а - весовыми функциями.
Рассмотрим пример представления окружности составленной из 3-х рациональных кубических кривых Безье. Возьмем для примера один из сегментов. Положим , а
Рис. 15. Сегмент окружности, представленный рациональной кривой Безье. |
, где R - радиус окружности. |
Рис. 16. Изображение окружности. |
Итоговое изображение представлено на Рис. 16. Отметим, что за рамками данной лекции остались не разобранными многие важные вопросы, требующие более тщательного рассмотрения. Среди них следует отметить :
(Non-Uniform Rational B-Splines), которые в настоящее время являются фактически общепризнанным стандартом представления кривых, так как позволяют наиболее точно передавать форму кривой. 3) Аналогичную теорию можно строить и для поверхностей, что находит не меньшее, а, возможно, и большее применение в приложениях.
Всех интересующихся описанием этих вопросов, а также тех, кто хотел бы узнать более подробно о вышеизложенном материале, отсылаем к замечательной книге [Роджерс, Адамс, 2001].
|
Література
[Роджерс, Адамс, 2001] Роджерс.Д., Адамс.Дж. Математические основы машинной графики: Пер. с англ. - М.: Мир, 2001. - 604 с., ил.