Пропорциональное звено (другое название – безынерционное звено).

 

Передаточная функция:    W(p)=K

Передаточная функция не зависит от переменной p, т.е. пропорциональное звено является статическим. Параметр К называют коэффициентом передачи звена.

 

Уравнение звена:   y(t)=К·x(t)

Пропорциональное звено – статическое, уравнение не содержит производных.

 

Статическая характеристика:    y_ст=W(0)·x_ст=K·x_ст

Статическая характеристика – прямая линия с углом наклона arctg(K).

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходная функция:    h(t)=K·1(t)

Переходная функция совершает скачок от 0 до К в момент времени t=0.

 

 

ЛАЧХ:    L(ω)=20·lg(K)

ЛАЧХ не зависит от частоты. При любой частоте гармонического воздействия звено изменяет амплитуду в К раз, т.е. на 20·lg(K) децибел.

 

ЛФЧХ:    φ(ω)=0

ЛФЧХ не зависит от частоты. Звено не вносит фазовый сдвиг при любой частоте гармонического воздействия.

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирующее звено

 

Передаточная функция:

  .

 

Если входная и выходная величина одной размерности, то передаточную функцию обычно записывают в виде:

,

где Т – постоянная времени (в секундах).

 

Уравнение звена:

 или  .

Выходная величина пропорциональна интегралу входной величины.

 

Статическая характеристика:           y_ст =W(0)·x_ст, где W(0) = ∞

Это значит, что статический режим невозможен при x_ст 0, т.к. звено непрерывно интегрирует входную величину и выходная величина непрерывно изменяется. Статический режим возможен только при x_ст=0, когда интегрирование прекращается. Таким образом, статическая характеристика совпадает с осью y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходная функция:     h(t)=K·t·1(t)

Ее значение линейно нарастает во времени (теоретически до бесконечности). Скорость нарастания переходной функции равна коэффициенту К.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Весовая функция:    g(t)=K·1(t)

Интегрирующее звено обладает способностью сохранять постоянное не равное нулю значение выходной величины при равенстве нулю входной величины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример: реакция интегрирующего звена на сложное ступенчатое воздействие.

 

ЛАЧХ:       

 

В логарифмическом масштабе частоты это уравнение прямой линии с наклоном –20 дБ/дек. С увеличением частоты значение ЛАЧХ уменьшается.

При ω<K, L>0  – звено усиливает амплитуду.

При ω=K, L=0  – амплитуды входной и выходной величины одинаковы.

При ω>K, L<0  – звено ослабляет амплитуду.

ЛАЧХ пересекает ось частоты на частоте ω=К (ω=1/Т). На частоте ω=1 значение ЛАЧХ равно 20·lg(К).

 

ЛФЧХ:     φ(ω)= – 90˚ = – π/2 рад

Интегрирующее звено при любой частоте гармонического воздействия вносит отставание по фазе на четверть периода.

 

Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена для К>1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцирующее звено

 

Передаточная функция:   

Если входная и выходная величина одной размерности, то передаточную функцию обычно записывают в виде: , где Т – постоянная времени (в секундах). Дифференцирующее звено относится к идеальным звеньям (m>n).

Уравнение звена: 

Выходная величина пропорциональна производной входной величины.

 

Статическая характеристика: y_ст =W(0)·x_ст= 0

В статическом режиме выходная величина всегда равна нулю (т.к. производная постоянной величины – ноль). Статическая характеристика совпадает с осью x.

 

 

 

 

 

 

Переходная функция:   

 

Это дельта-импульс с площадью К. При постоянной входной величине выходная величина дифференцирующего звена равна нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реакция на линейно нарастающее воздействие

При воздействии x(t)=t·1(t) реакция y(t)=K·1(t). При линейно изменяющейся входной величине выходная величина дифференцирующего звена постоянна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример: реакция дифференцирующего звена на произвольное воздействие.

ЛАЧХ: L(ω)= 20lg(Kω)=20lg(K)+20lg(ω)

В логарифмическом масштабе частоты это уравнение прямой линии с наклоном +20 дБ/дек. С увеличением частоты значение ЛАЧХ возрастает.

При ω>1/K, L>0  – звено усиливает амплитуду.

При ω=1/K, L=0  – звено не изменяет амплитуду.

При ω<1/K, L<0  – звено ослабляет амплитуду.

ЛАЧХ пересекает ось частоты на частоте ω=1/К (ω=1/Т). На частоте ω=1 значение ЛАЧХ равно 20·lg(К).

 

ЛФЧХ: φ(ω)= +90˚ = π/2 рад.

Дифференцирующее звено при любой частоте гармонического воздействия вносит опережение по фазе на четверть периода.

 

Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ для К<1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Апериодическое звено первого порядка (другое название – инерционное звено).

 

Передаточная функция:  , где K – статический коэффициент передачи, Т – постоянная времени (измеряется в секундах).

 

Уравнение звена

Найдем дифференциальное уравнение апериодического звена. По определению передаточной функции:

 

Переходим от изображений к оригиналам:

Статическая характеристика: y_ст =W(0)·x_ст= К·x_ст (как у пропорционального звена).

          Переходная функция:  . Зависимость h(t) – экспоненциальная.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При скачке воздействия выходная величина не может измениться скачком, а изменяется плавно по экспоненте, т.е. звено обладает инерцией. Отсюда происходит название звена – инерционное. Переходная функция возрастает монотонно, без колебаний. Отсюда происходит название звена – апериодическое (т.е. не имеющее периода, неколебательное).

Установившееся значение переходной функции равно коэффициенту К. Теоретически переходная функция будет бесконечно приближаться к значению K. На практике обычно считают, что переходный процесс закончился за время 3Т, когда переходная функция достигает значения 0,95К. Постоянная времени Т – это показатель инерционности звена. Чем больше Т, тем медленнее возрастает переходная функция и тем более инерционным является звено.

 

Весовая функция

Найдем ее как производную переходной функции:

           Начальное значение весовой функции: g(0)=K/T.       

           Установившееся значение весовой функции: g(∞)=0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение АЧХ и ФЧХ

Получим аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ.

Частотная передаточная функция апериодического звена (после подстановки в передаточную функцию p=jω):

Таким образом, вещественная частотная характеристика:

Мнимая частотная характеристика:

Амплитудная частотная характеристика:

Фазовая частотная характеристика:

 

АФЧХ

Годограф Найквиста для апериодического звена имеет вид полуокружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛАЧХ и ЛФЧХ

 

Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена для К>1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Асимптотическая ЛАЧХ апериодического звена состоит из двух прямых. Первая прямая проходит в диапазоне частот 0…1/T с наклоном 0 дБ/дек на расстоянии 20lg(K) относительно оси частоты. При К=1 20lg(K)=0, т.е. первая прямая будет совпадать с осью частоты, при К>1 она расположена выше оси частоты, при К<1 – ниже оси частоты. Вторая прямая проходит в диапазоне частот 1/Т…∞ с наклоном –20 дБ/дек (минус двадцать). Частота, на которой соединяются прямые с разными наклонами ω=1/Т, называется частотой сопряжения. На этой частоте будет наибольшее отличие точного графика ЛАЧХ от асимптотического (оно составляет около 3дБ).

Значения ЛФЧХ лежат в пределах 0…–π/2 рад (0…–90º). На частоте сопряжения φ(Т/2)= –π/4 рад (–45º). В области низких частот ω<<1/Т апериодическое звено близко по своим свойствам к пропорциональному звену W(p)=K, в области высоких частот ω>>1/Т апериодическое звено близко по своим свойствам к интегрирующему звену W(p)=K/(Тр).

 

 

 

Реальное дифференцирующее звено

Передаточная функция:  .

Это произведение передаточных функций идеального дифференцирующего звена и апериодического звена. Если входная и выходная величина одной размерности, то передаточная функция записывается в виде:

где Т₁ – постоянная времени дифференцирующей части, Т₂ – постоянная времени инерционной части.

 

Уравнение звена

Найдем дифференциальное уравнение реального дифференцирующего звена. По определению передаточной функции:

Переходим от изображений к оригиналам:

Статическая характеристика: такая же, как у идеального дифференцирующего звена.

Переходная функция:    h(t)=   –  такая же, как весовая функция апериодического звена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В отличие от идеального дифференцирующего звена у реального нет скачка до бесконечности при t=0. Инерционность сглаживает переходный процесс. Начальное значение h(0) = K/T. Чем меньше Т, тем ближе звено к идеальному. Установившееся значение переходной функции равно нулю (она асимптотически приближается к этому значению).