Первообразная и неопределенный интеграл
Интегрирование - действие, обратное дифференцированию. Дана производная функции, требуется найти саму функцию.
Определение 1. Функция F(х) называется первообразной функции f (х) на интервале (a, b), если в любой точке х этого интервала существует производная F!(х), которая равна f (х): F!(х) = f (х).
Определение 2. Неопределенным интегралом от функции f (х) по дх называется совокупность всех первообразных функции f (х). Обозначение:
Свойства неопределенного интеграла (правила интегрирования)
10. Возрастание и убывание функции. Признаки возрастания и убывания.
Пусть функция y = f (x) определена на интервале (a, b).
Определение 1. Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на интервале (a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих интервалу (a, b) и таких, что x1 < x2 выполняется неравенство:
f (X1) < f (X2) (f (X1) > f (X2)).
Определение 2. Функция y = f (x) называется невозрастающей
(неубывающей) на интервале (a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих
интервалу (a, b) и таких, что x1 < x2 выполняется неравенство:
f (xi) > f (x2) (f (xi) < f (x2 ))
Возрастающая, убывающая, невозрастающая и неубывающая функции называются монотонными функциями.
Теорема 1 (признак монотонности функции). Если функция У = f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и f (x) > 0 (f (x) < 0) на (a, b), то функция f (x) не убывает (не возрастает) на (a, b).
Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I. Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х1 и x2 из интервала. Пусть x1<x2. По формуле Лагранжа существует число с∈(х1, x2), такое, что
(1)
Число с принадлежит интервалу I, так как точки х1 и x2 принадлежат I. Если f'(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x1)<F(x2) — это следует из формулы (1), так как x2 — x1>0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f'(с)<0, и потому f(x1)>f (х2) — следует из формулы (1), так как x2—x1>0. Доказано убывание функции f на I. Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания). Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f'(t) (см. Мгновенная скорость). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t1 <t2, то f (t1)<f (t2). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I.