7. Определение производной и ее геометрический смысл

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Пусть в некоторой окрестности точки   определена функция   Производной функции называется такое число  , что функцию в окрестности  можно представить в виде

если   существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки   определена функция   Производной функции   в точке   называется предел, если он существует,

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводитсясекущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом или тангенсом угланаклона касательной прямой.

8. Дифференциал функции одной переменной

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение представимо в виде Δf = f(x₀ + Δx) − f(x₀) = A · Δx + o(Δx), где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х₀ и обозначается символом df(x₀), т.е. df(x₀) = A · Δx.

 Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 0.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 96.

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е. dx ≡ Δx. 

Отсюда следует формула для вычисления дифференциала

df(x₀) = f'(x₀) dx. 

Геометрический смысл дифференциала

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х₀. Проведем касательную к графику этой функции в точке M₀(x₀, f(x₀)) (рис. 1).

Угловой коэффициент касательной равен tg α = f '(x₀), где α — угол между касательной и осью OX. При изменении абсциссы х₀ на Δx приращение ординаты соответствующей точки касательной равно Δx · tg α   =   f '(x₀) · Δx   ≡  df(x₀). 

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х₀ равен приращению, которое получает линейная функция, графиком которой является касательная, при переходе из точки x₀ в точку x₀ + Δx.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Из формулы (1) следует, что при |Δx| << 1 можно пренебречь слагаемым o(x) и тогда

 f(x₀ + Δx)   ≈   f(x₀) + df(x₀)   =   f(x₀) + f '(x₀) · Δx.