Эффе́кт До́плера — изменение частоты и длины волн, регистрируемых приёмником, вызванное движением их источника и/или движением приёмника.

Сущность явления

Эффект Доплера легко наблюдать на практике, когда мимо наблюдателя проезжает машина с включённой сиреной. Предположим, сирена выдаёт какой-то определённый тон, и он не меняется. Когда машина не движется относительно наблюдателя, тогда он слышит именно тот тон, который издаёт сирена. Но если машина будет приближаться к наблюдателю, то частота звуковых волн увеличится (а длина уменьшится), и наблюдатель услышит более высокий тон, чем на самом деле издаёт сирена. В тот момент, когда машина будет проезжать мимо наблюдателя, он услышит тот самый тон, который на самом деле издаёт сирена. А когда машина проедет дальше и будет уже отдаляться, а не приближаться, то наблюдатель услышит более низкий тон, вследствие меньшей частоты (и, соответственно, большей длины) звуковых волн.

Для волн (например, звука), распространяющихся в какой-либо среде, нужно принимать во внимание движение как источника, так и приёмника волн относительно этой среды. Для электромагнитных волн (например, света), для распространения которых не нужна никакая среда, в вакууме имеет значение только относительное движение источника и приёмника.

Математическое описание

Если источник волн движется относительно среды, то расстояние между гребнями волн (длина волны) зависит от скорости и направления движения. Если источник движется по направлению к приёмнику, то есть догоняет испускаемую им волну, то длина волны уменьшается, если удаляется — длина волны увеличивается:

,

где  — частота, с которой источник испускает волны,  — скорость распространения волн в среде,  — скорость источника волн относительно среды (положительная, если источник приближается к приёмнику и отрицательная, если удаляется).

Частота, регистрируемая неподвижным приёмником

.

(1)

Аналогично, если приёмник движется навстречу волнам, он регистрирует их гребни чаще и наоборот. Для неподвижного источника и движущегося приёмника

,

(2)

где  — скорость приёмника относительно среды (положительная, если он движется по направлению к источнику).

Подставив вместо в формуле (2) значение частоты из формулы (1), получим формулу для общего случая:

.

(3)

Как наблюдать эффект Доплера

Не меняющий своего местоположения микрофон записывает звук, издаваемый сиренами двух движущихся влево полицейских машин. Снизу можно видеть частоту каждого из двух звуков, принимаемую микрофоном.

Поскольку явление характерно для любых волн и потоков частиц, то его очень легко наблюдать для звука. Частота звуковых колебаний воспринимается на слух как высота звука. Надо дождаться ситуации, когда быстро движущийся автомобиль или поезд будет проезжать мимо вас, издавая звук, например, сирену или просто звуковой сигнал. Вы услышите, что когда автомобиль будет приближаться к вам, высота звука будет выше, потом, когда автомобиль поравняется с вами, резко понизится и далее, при удалении, автомобиль будет сигналить на более низкой ноте.

Эффект Доплера нашел широкое применение и в медицине. На его принципе основана диагностика показателей кровотока практически в любом сосуде, что очень важно для выявления патологии поражающей сердечнососудистую систему и контроля ее лечения. При исследовании кровотока пациента посредством ультразвукового исследования фиксируют изменение частоты ультразвукового сигнала при отражении его от движущихся частиц крови, основную массу которых составляют эритроциты. Для регистрации эффекта Доплера используют ультразвук, посылаемый в направлении исследуемого сосуда. Отражаясь от движущихся эритроцитов, ультразвук, принимаемый устройством, соответственно меняет частоту. Это позволяет получить информацию о скорости движения крови по исследуемому участку сосудистого русла, направлении движения крови, объеме кровяной массы, движущейся с определенными скоростями, и, исходя из этих параметров, обосновывать суждение о нарушении кровотока, состоянии сосудистой стенки, наличии атеросклеротического стеноза или закупорке сосудов, а также оценить коллатеральное кровообращение.

Акустика — наука, изучающая механические колебания в газах, жидкостях и твердых телах. Исследователей-механиков, занятых этой наукой, именуют акустиками. Акустические волны (их часто называют просто звуком) представляют собой регулярно чередующиеся области сжатия и разряжения какой-либо среды — воздуха, воды, стекла и т.д. Но механическое движение в среде не обязательно должно быть периодическим; оно может быть хаотическим. В этом случае звук называют шумом. Шум почти всегда считается вредным явлением. В отличие от него периодический или даже гармонический звук относится к так называемому полезному сигналу.

Одна из важных характеристик спектров – резольвент. Некоторые основные определения и понятия теории линейных операторов. Итак:

Пусть A - оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора называется множество всех его собственных значений.

Квадратную матрицу nЧn можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В таком случае говорят о спектре матрицы.

Пусть A - оператор, действующий в банаховом пространстве E над полем k. Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор R(λ) = (A − λI)-1, называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен.

Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества - спектром этого оператора.

Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через r(A). При этом выполняется равенство:

Это равенство может быть принято за определение спектрального радиуса, при условии существования данного предела.

Теперь рассмотрим состав самого спектра. Он неоднороден, и состоит из следующих частей:

дискретный (точечный) спектр - множество всех собственных значений оператора A - только точечный спектр присутствует в конечномерном случае;

непрерывный спектр - множество значений λ, при которых резольвента (A - λI)-1 определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной;

остаточный спектр - множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части.

Таким образом, мы видим, что спектр оператора состоит из 3-х больших частей, принципиально различных.

Свойства резольвенты

Теорема 1: ограничен. Тогда является регулярной точкой.

Доказательство. . Пусть . Тогда .

- банахово, , причем он ограничен:

Резольвента существует и ограничена.

Теорема 2: не принадлежит точечному спектру осуществляет биекцию на .

Доказательство.

Если построена биекция, то не существует , за исключением тривиальной.

Если - точка точечного спектра, то , что противоречит биективности .

Теорема 3:(Тождество Гильберта)

Доказательство.

, ,

, верно => Чтд.

Следствия:

- коммутативность резольвенты.

(т.к. непрерывна по в точке ), т.е. она бесконечно дифференцируема (аналитическая функция).

Итак, - аналитическая оператор-функция на множестве регулярных точек (резольвентном множестве). - разложение в ряд Лорана (имеет место при , но, возможно, и в большей области).

Упражнение: (Примеры вычисления спектрального радиуса)

,

.

Возьмем .Тогда

Таким образом . Эта оценка достижима при , т.е. ,и rc(A)=1.

Теорема 4: всякая к.ч , есть регулярная точка самосопряженного оператора A.

Доказательство.

] регулярная точка, значит не собственное значение и . Проверим ограниченность .

ограничен, и его можно распространить на с сохранением нормы оператора, так как не собственое значение. Если при этом не замкнуто, то не замкнут. При этом линейный оператор, обратный к замкнутому, а также сопряженный к нему, замкнут => самосопряженный оператор замкнут.

Источник звука.

Звук - распространяющиеся в упругих средах, газах, жидкостях и твердых телах механические колебания, воспринимаемые ухом.

Источник звука - различные колеблющиеся тела, например туго натянутая струна или тонкая стальная пластина, зажатая с одной стороны. Колебания струны или металлической пластинки передаются окружающему воздуху. Когда пластинка отклонится, например в правую сторону, она уплотняет (сжимает) слои воздуха, прилегающие к ней справа; при этом слой воздуха, прилегающий к пластине с левой стороны, разредится. При отклонении пластины в левую сторону она сжимает слои воздуха слева и разрежает слои воздуха, прилегающие к ней с правой стороны, и т.д. Сжатие и разрежение прилегающих к пластине слоев воздуха будет передаваться соседним слоям. Этот процесс будет периодически повторяться, постепенно ослабевая, до полного прекращения колебаний

Таким образом колебания струны или пластинки возбуждают колебания окружающего воздуха и, распространяясь, достигают уха человека, заставляя колебаться его барабанную перепонку, вызывая раздражение слухового нерва, воспринимаемое нами как звук.

Колебания воздуха, источником которых является колеблющееся тело, называют звуковыми волнами, а пространство, в котором они распространяются, звуковым полем.

Скорость распространения звуковых колебаний зависит от упругости среды, в которой они распространяются. В воздухе скорость распространения звуковых колебаний в среднем равна 330 м/с, однако она может изменяться в зависимости от его влажности, давления и температуры. В безвоздушном пространстве звук не распространяется.

При распространении звука, вследствие колебаний частиц среды, в каждой точке звукового поля происходит периодическое изменение давления. Среднее квадратичное значение величины этого давления, обозначаемое буквой P, называют звуковым давлением. За единицу звукового давления принята величина, равная силе в один ньютон (Н), действующей на площадь в один квадратный метр (Н/м2).

Чем больше звуковое давление, тем громче звук. При средней громкости человеческой речи звуковое давление на расстоянии 1м от рта говорящего находится в пределах 0,0064-0,64.