Вопросы для самоконтроля

1. От движущейся моторной лодки по обе стороны от ее бортов распространяются волны. Какие это волны: продольные или поперечные? Как движется поплавок удочки, когда он оказывается в зоне, где проходит такая волна? Пусть частота колебаний поплавка а длина волны . Чему равна скорость волны

а) б) в) ?

Укажите правильное соотношение.

2. В ситуации, описанной в вопросе 1, пусть максимальная скорость движения поплавка равна а амплитуда волны, которая равна половине разности уровней гребней и впадин распространяющей волны , равна . Тогда эти величины связаны соотношением

а) б) в) .

Выберете правильный ответ.

3. Проверить, что функция даваемая формулой (2), удовлетворяет уравнению (5).

4. Какова размерность величин и ?

5. Будет ли условие возникновения стоячей волны (12) справедливы для веревки у пастушеского кнута, у которой один конец закреплен, а другой – свободен, или в этом случае условие (12) следует изменить на следующее

где (16)

6. Как вы думаете, если образуется стоячая звуковая волна в открытом сверху колодце, то какая из формул (12) или (16) будет правильной?

Примеры решения задач

Пример 1. За какое временя звуковые колебания пройдут расстояние между точками 1 и 2, если температура воздуха между ними меняется линейно от до Скорость звука в воздухе где – постоянная.

Р е ш е н и е. Направим ось от точки 1 к точке 2 так, что при а при Линейную зависимость можно представить в виде

Интегрируя соотношение в пределах от до , получим

Пример 2. Бегущая волна имеет вид где – в секундах, – в метрах. Вычислить частоту колебаний, скорость их распространения и длину волн .

Р е ш е н и е. Сравнивая заданную в условиях задачи функцию со стандартным выражением (2), имеем

Тогда

кГц , км/с , м.

Пример 3. Уравнение плоской звуковой волны имеет вид

где – в мкм, – в секундах, – в метрах. Найти: а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волн; б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волн.

Р е ш е н и е. а) по условию задачи Длина волны м , мкм . Тогда

б) Дифференцируя по времени, получим

откуда для амплитуды колебаний скорости частиц среды получим

мкм/с =0,108 м/с.

Скорость распространения волны равна м/с. Для отношения получим значение

Пример 4. С какой скоростью распространяется упругая волна, если в некоторой точке в один и тот же момент относительная деформация и скорость частиц среды м/с ?

Р е ш е н и е. Пусть уравнение упругой волны имеет стандартный вид (2). Относительная деформация среды в некоторой точке среды и в некоторый момент времени определяется соотношением

в то время как скорость частиц среды есть

Поделив величину на , получим ответ

м/с.

Пример 5. В однородной среде распространяется плоская упругая волна вида где и – постоянные. Найти разность фаз колебаний в точках, где амплитуды смещения частиц среды отличаются друг от друга на если и длина волны см.

Р е ш е н и е. В некоторый момент времени разность фаз колебаний в точках и равна

Волновое число в рассматриваемом случае равно Амплитуды данной затухающей волны в точках и равны и По условию задачи

откуда находим

м.

Окончательно получаем

рад.

Пример 6. Изотропный точечный источник, звуковая мощность которого Вт, находится в центре круглого полого цилиндра радиуса м и высоты м. Полагая, что стенки цилиндра полностью поглощают звук, найти средний поток энергии, падающий на боковую поверхность цилиндра. Затухания волн нет.

Р е ш е н и е. Энергия звуковой волны, испущенная источником, частично падает на боковую поверхность цилиндра, а частично выходит через основания цилиндра. Тогда искомый поток энергии

г де – телесный угол, вершина которого находится в месте расположения точечного источника звука мощностью , а опирается данный угол на основание цилиндра. При этом

где угол – угол полураствора конуса, соответствующему данному телесному углу (см. рис. 1)

В этом выражении Тогда

Вт.

Пример 7. Стальная струна длины см и диаметра мм дает основной тон частоты Гц. Найти силу ее натяжения

Р е ш е н и е. Используем для нахождения величины формулу (13), из которой следует

где линейная плотность струны равна

где м ,

а для скорости волн имеем

Здесь использовано для основного тона струны соотношение (12), где Окончательно

кН.