- •Дифференциальные уравнения. §1. Основные понятия
- •§2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§3. Однородные уравнения
- •§4. Линейные уравнения
- •§5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •§6. Уравнения Лагранжа и Клеро
- •§7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •§8. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
- •§9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •§10. Системы дифференциальных уравнений.
- •Список литературы.
§7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
1. Уравнение вида
y(n)=f(x) (1)
решается последовательным n-кратным интегрированием. При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в окончательном результате – n произвольных постоянных.
2. Уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции, т.е. уравнение вида
F(x,y|,y||)=0, (2)
при помощи подстановки y|=p(x) (откуда ) преобразуется в уравнение первого порядка
3. Уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной, т.е. уравнение вида
F(y,y|,y||)=0, (3)
при помощи подстановки y|=p(y) (откуда ) сводится к уравнению первого порядка
§8. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением n-ого порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение
y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)+…+pn-1y|+pny=0, (1)
в котором все члены имеют первую степень относительно функции ее производных, а коэффициенты p1,p2,…,pn – постоянные.
Общее решение линейного однородного уравнения (1) имеет вид
y=C1y1+C2y2+…+Cnyn, (2)
где y1,y2,…yn – линейно независимые частные решения (фундаментальная система решений) этого уравнения, а C1,C2,…Cn – произвольные постоянные.
Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение
rn+p1rn-1+p2rn-2+…+pn-1r+pn=0, (3)
которое получается из уравнения (1) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями r, причем сама функция заменяется единицей.
Тогда общее решение уравнения (1) строится в зависимости от характера корней уравнения (3):
каждому действительному однократному (т.е. простому) корню r в общем решении соответствует слагаемое вида Cerx;
каждому действительному корню r кратности k в общем решении соответствует слагаемое вида (C1+C2x+…+Ck-1xk-1)erx;
каждой паре комплексных сопряженных однократных корней и в общем решении соответствует слагаемое вида ;
каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности L в общем решении соответствует слагаемое вида
§9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
y||+py|+qy=f(x) (1)
Оно отличается от соответствующего линейного однородного уравнения
y||+py|+qy=0 (2)
наличием в правой части некоторой функции f(x).
Для нахождения общего решения уравнения (1) сначала нужно найти общее решение уравнения (2), а затем найти какое-либо частое решение y* уравнения (1). Их сумма есть общее решение данного неоднородного уравнения (1):
y= + y*.
Рассмотрим два метода нахождения частного решения.
Метод неопределенных коэффициентов. Если правая часть уравнения (1) имеет вид
(3)
где и -действительные числа, а Pn(x) и Qm(x) – многочлены соответственно n-й и m-й степени с действительными коэффициентами, то частное решение y* уравнения (1) ищется в виде
(4)
где Ms(x) и Ns(x) – многочлены s-й степени (s – наибольшая из степеней n и m) с неопределенными буквенными коэффициентами, а k – кратность, с которой входит в число корней характеристического уравнения r2+pr+q=0, соответствующего однородному дифференциальному уравнению (2).
Для того, чтобы найти коэффициенты многочленов Ms(x) и Ns(x), искомое частное решение (4) подставляют в левую часть дифференциального уравнения (1) и производят соответствующие упрощения; затем в полученном тождестве приравнивают коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях, что дает систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов, из которой определяют эти коэффициенты.
Укажем вид частного решения y* для некоторых частных случаев функции (3):
если =0, =0 (т.е. =0), то f(x)=Pn(x) и частное решение ищется в виде
y*=xk(A0xn+A1xn-1+…+An),
где k – кратность, с которой нуль входит в число корней характеристического уравнения;
если =0 (т.е. =), то и частное решение ищется в виде
y*=xk (A0xn+A1xn-1+…+An),
где k – кратность, с которой входит в число корней характеристического уравнения;
если =0, n=m=0 (т.е. = ), то и частное решение ищется в виде
где k – кратность, с которой входит в число корней характеристического уравнения.
В том случае, если правая часть уравнения (1) есть сумма функций вида (3), т.е.
f(x)=f1(x)+f2(x)+…+fr(x),
нужно предварительно найти частные решения соответствующие функциям f1(x),f2(x),…,fr(x). Тогда частное решение уравнения (1) запишется в виде
(5)
Метод вариации произвольных постоянных. Более общим методом решения линейного неоднородного уравнения (1) является метод вариации произвольных постоянных.
Пусть y1 и y2 – линейно независимые частные решения однородного уравнения (2). Тогда общее решение неоднородного уравнения (1) следует искать в виде
y=C1(x)y1+C2(x)y2, (6)
где функции C1(x) и C2(x) определяются из системы уравнений
(7)
Решая систему алгебраических уравнений (7), находим
(8)
где
(9)
- определитель Вронского, составленный для решений y1 и y2.
Интегрируя равенства (8), получаем
(10)
откуда, подставляя найденные функции C1(x) и C2(x) в соотношение (6), получим общее решение линейного неоднородного уравнения (1).