§5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Если левая часть уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)

представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах. В этом случае его можно переписать в виде dU(x,y)=0, так что общий интеграл

U(x,y)=C. (2)

Для того чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D, в которой функции P(x,y) и Q(x,y) определены, непрерывны и имеют непрерывные частные производные и , было выполнено условие

. (3)

В том случае, когда условие (3) выполнено, общий интеграл уравнения (1) можно записать в виде

(4)

или

, (5)

где (x₀;y₀) – произвольная фиксированная точка области D.

Если же условие (3) не выполнено, то уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на функцию µ(x,y), которая называется интегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель легко находится в следующих двух случаях:

1. когда он зависит т о л ь к о от x, т.е. µ=µ(x);

2. когда он зависит т о л ь к о от y, т.е. µ=µ(y).

Первый из этих случаев имеет место, если отношение

является функцией только от x; тогда интегрирующий множитель находится по формуле

. (6)

Второй случай имеет место, если отношение

является функцией только от y; тогда интегрирующий множитель определяется по формуле

. (7)

§6. Уравнения Лагранжа и Клеро

1. Уравнение Лагранжа. Уравнением Лагранжа называется уравнение вида

, (1)

т.е. линейное относительно x и y с коэффициентами, зависящими от y^|, причем коэффициент при x не равен y^|.

Для интегрирования уравнения Лагранжа воспользуемся параметрическим методом. Полагая y^|=p, перепишем уравнение (1) в виде

. (2)

Дифференцируя по x, имеем

,

откуда после замены y^| на p, умножения на и соответствующих алгебраических преобразований [в частности, деления обеих частей уравнения на ] получим

. (3)

Это уравнение является линейным относительно функции x и производной . Его общее решение имеет вид

x=F(p,C). (4)

Подставляя найденное для x выражение в соотношение (2), получим

. (5)

Соотношения (4) и (5) дают общее решение уравнения Лагранжа в параметрической форме:

Заметим, что если уравнение =0 имеет действительные корни, то подставляя эти корни в уравнение (2), мы также получим решения уравнения Лагранжа, которые могут оказаться как ч а с т н ы м и, так и о с о б ы м и. (Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением.)

2. Уравнение Клеро. Уравнением Клеро называется уравнение вида

, (6)

т.е. частный случай уравнения Лагранжа, когда .

Положим y^|=p, тогда

. (7)

Дифференцируя по x, имеем

Последнее уравнение распадается на два:

(8)

Из уравнения следует, что p=C. Подставляя это выражение в равенство (6), получим общее решение уравнения Клеро:

(9)

Формально общее решение получается из уравнения (6) заменой y^| на C.

Уравнение Клеро имеет о с о б о е решение, получающееся в результате исключения параметра C из системы уравнений

(10)