2.2.3Линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил в поперечных сечениях простой балки

Для определения изгибающего момента и поперечной силы, являющихся внутренними усилиями в некоторых сечениях балки, необходимо использовать метод сечений, т.е. мысленно разрезать балку на две части по рассматриваемому сечению.

Как указано в п.1.4 из уравнения равновесия одной из отсеченных частей балки (любой) получается уравнение линии влияния. При переходе единичного груза через рассматриваемое сечение резко меняются условия равновесия обеих отсеченных частей балки. Следовательно, при этом изменится и уравнение линии влияния, т.е. уравнения линии влияния слева от рассматриваемого сечения и справа от него будут разными.

Рис. 9

Рассмотрим порядок построения линий влияния изгибающего момента и поперечной силы в некотором сечении С балки АВ (рис. 9 а).

Выберем систему координат: начало в точке А; ось x, определяющую положение единичного груза, направим вправо; ось у ординат линии влияния и – вверх.

Поставим единичный груз в произвольное положение – слева от сечения С и обозначим его положение абсциссой x (единичный груз может занимать любое положение от x = 0 до x = a, на рис. 9 он изображен сплошной линией).

Считая единичный груз неподвижным в этом произвольном положении, определим изгибающий момент и поперечную силу в сечении С.

Для этого необходимо мысленно разрезать балку на две части по сечению С и отбросить одну из частей, а для оставшейся части составить уравнение равновесия, из которого и получится уравнение линии влияния.

Примечания:

- отбрасывать следует ту часть балки, на которую действует больше внешних сил;

- уравнение равновесия следует выбрать такое, в которое войдет только одна неизвестная искомая величина или .

Отбросим левую часть балки, а для оставшейся правой части (рис. 10 б) составим необходимое уравнение равновесия. Все усилия ( , , ), действующие на оставшуюся часть балки, должны быть изображены по их правилам знаков. Считаем момент положительным в том случае, когда он вызывает сжатие в верхнем волокне.

Рис. 10

Для определения целесообразным будет уравнение равновесия

.

В него не войдет , т.к. она проходит через точку С.

Для определения целесообразным будет уравнение равновесия

.

В него не войдет , т.к. проекция момента (пара сил) на любую ось равна нулю.

Из этих уравнений получим и .

При выбранной системе координат, как показано в п. 2.2.1, ,

тогда и .

Это и будут уравнения линий влияния М_С и Q_C, справедливые для левой части балки (слева от сечения), т.е. при 0  x a.

Границы справедливости уравнений устанавливаются из того, где находится единичный груз. Это уравнения прямых, для построения которых достаточно определить координаты двух их точек.

Для : Для :

при x = 0 = 0; при x = 0 = 0;

при x = a . при x =a .

По этим данным построены левые участки линий влияния и (рис. 9 б, в).

Теперь поставим единичный груз в произвольном положении справа от сечения С, обозначим его положение абсциссой x (единичный груз – на рис. 9 показан пунктиром – может занимать любое положение от x =a до x =l) и определим и для этого положения единичного груза так же, как это было выполнено выше.

После мысленного разреза балки по сечению “С” целесообразно отбросить правую часть балки. Уравнения равновесия для оставшейся левой части (рис. 8 а) будут иметь вид:

; .

Из этих уравнений с учетом того, что при выбранной системе координат (см. п. 2.2.1), получим уравнение линий влияния М_С и Q_С, справедливые справа от сечения “С”, т.е. при a  x l:

; .

Это тоже уравнение прямых. Найдем две их точки.

Для : Для :

при x = a ; при x =a ;

при x =l = 0. при x =l = 0.

По этим данным построены прямые участки линий влияния и на рис. 9 б,в. Если хорошо запомнить изображение линий влияния и на рис. 9 б,в, то их можно построить без рассмотренного выше составления уравнений.

Полезно запомнить следующее:

a и b – расстояния от рассматриваемого сечения соответственно до левой и правой опоры балки, и l – пролет балки;

линия влияния изгибающего момента изображается отрезками двух прямых, пересекающихся под рассматриваемым сечением. Ордината точки их пересечения равна , а ординаты под опорами равны нулю. Продолжения этих прямых отсекают на вертикалях под опорами отрезки «a» слева и «b» справа;

линия влияния поперечной силы изображается отрезками двух параллельных прямых. Ординаты их точек под рассматриваемым сечением равны (для левого отрезка) и (для правого отрезка), а ординаты под опорами равны нулю. Продолжения этих прямых отсекают на вертикалях под опорами отрезки, равные единице.

Линии влияния Q_А и Q_В, изображенные на рис. 9 г,д, аналогичны линии влияния Q_C (рис. 9 в), когда сечение «С» расположено сколько угодно близко к левой или правой опорам балки.

2.2.4Линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил в поперечных сечениях балки с консолями.

Линии влияния М_А и Q_А в опорном сечении (А) консольной балки с заделкой (рис. 11).

Рис. 11

Момент в опорном сечении А:

в пределах 0  x  l

При x = 0 .

При x = l = -1.

Линия влияния изображена на рис. 11 а.

Поперечная сила в опорном сечении А:

; Q_A = 1.

Линия влияния в данном случае не зависит от х, т.е. выражается прямой, параллельной оси х (рис. 11 б).

Линии влияния для М и Q в произвольном сечении “а” консольной балки с заделкой (рис. 12).

Рис. 12

Линии влияния изгибающих моментов

Груз находится слева от сечения с = a.

Отбрасываем левую часть балки с защемляющей опорой, в равновесии рассматриваем правую часть балки. Изгибающий момент для этой части балки не уравновешен никакими силами. М_С=0.

Уравнение действительно при 0 .

Левая часть линии влияния от 0 до a совпадает с осью x – нулевой линией отсчета.

Груз находится справа от сечения с=a (единичная сила обозначена пунктиром).

В этом случае .

Уравнение действительно при a x  l.

При x = a М_С = 0.

При x = l М_C = – (l – a).

Линия влияния показана на рис. 12 б.

Линии влияния поперечной силы в сечении с = a.

Груз находится слева от сечения с = a, поперечной силы в сечении с = a нет, поэтому Q_C = 0 в пределах 0  x a.

Груз находится справа от сечения с = a. В этом случае Q_C = 1 при a  x  l.

Линия влияния поперечной силы имеет вид, показанный на рис. 10 в.

Линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил в разных сечениях балки с консолями приведены на рис. 13.