4.3Пример определения перемещения узла фермы с помощью линии влияния

Для определения перемещения узла фермы используется известная формула:

, (20)

где N_i – усилие в i-ом стержне от приложенной к ферме нагрузки; N_i⁰ – усилие в i‑ом стержне от добавочной единичной силы, приложенной в рассматриваемом узле по направлению искомого перемещения; L_i, F_i, E_i – соответственно длина (по расчетной схеме фермы), площадь поперечного сечения и модуль упругости материала i-го стержня; n – число стержней в ферме.

По этой формуле можно определить искомое перемещение узла фермы, не пользуясь его линией влияния.

Р

а)

б)

в)

г)

б/у

л.в. _с

ис. 55

Таблица 2

Параметры для определения перемещения в узле 9 фермы

Стержень	li		Единичный груз в узле
			3		5		7		9
7-9	d	-1	0	0	0	0	0	0	-1	D
8-9	d		0	0	0	0	0	0		2d
7-8	d	0	0	0	0	0	1	0	0	0
5-7	d	-1	0	0	0	0	0	0	-1	D
5-8	d	-	0	0	0	0	-	2d	-	2d
6-8	d	2	0	0	0	0	1	2d	2	4d
5-6	d	0	0	0	0	0	0	0	0	0
4-6	d	2	0	0	0	0	1	2d	2	4d
4-5	d		0	0		2d		2d		2d
3-5	d	-3	0	0	-1	3d	-2	6d	-3	9d
1-3	d	-3	0	0	-1	3d	-2	6d	-3	9d
3-4	d	0	1	0	0	0	0	0	0	0
1-4	d	-	-	2d	-	2d	-	2d	-	2d
2-4	d	4	1	4d	2	8d	3	12d	4	16d
1-2	d	0	0	0	0	0	0	0	0	0
			6,8d		19,6d		36,5d		55,3d
Ордината линии влияния 9			y3=6,8d/(EF)		y3=19,6d/(EF)		y3=36,5d/(EF)		y3=55,3d/(EF)

Однако целесообразно все же воспользоваться линией влияния, особенно при необходимости изучения влияния нескольких вариантов нагружения фермы и при наличии подвижной нагрузки.

При построении линии влияния перемещения некоторого узла фермы в качестве фактически приложенной к ферме нагрузки принимается единичный сосредоточенный груз, который перемещается по одному из ее поясов (он вызывает в стержнях усилие Ni). Добавочная единичная сила прикладывается в рассматриваемом узле по направлению искомого перемещения (она вызывает усилие N_i⁰).

Усилия N_i и N_i⁰ целесообразно определять с помощью линий влияния усилий в стержнях фермы (для каждого стержня должна быть построена эта линия влияния).

Поскольку и единичный груз, и добавочная сила являются единичными силами, то процессы построения линий влияния перемещения по общему правилу и с использованием принципа независимости перемещений будут одинаковыми, различаясь только по смыслу.

Любую нагрузку фермы можно представить приложенной в узлах. Поэтому нет необходимости находить уравнение линии влияния перемещения. Достаточно определить ее ординаты под узлами, помещая в них поочередно единичный подвижный груз. В этом случае линия влияния перемещения изобразится приближенно ломаной линией с вершинами под узлами фермы.

Пример. Определить вертикальное перемещение δ₉ узла 9 фермы, изображенной на рис. 55 а, с помощью его линии влияния. Все стержни фермы имеют одинаковые площади сечения F и изготовлены из одного материала с модулем упругости E. P₁ = P₂ = P₃ = P₄ = P.

Решение