- •Прямая на плоскости: виды уравнений
- •1.1. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору
- •1.6. Уравнение прямой «с угловым коэффициентом»
- •1.7. Особые случаи расположение прямой на плоскости
- •1.8. Построение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости «в отрезках»
- •1.9. Нормальное уравнение прямой
- •1.10. Полярные параметры прямой
- •2. Прямые на плоскости: взаимное расположение
- •2.1. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой
- •2.2. Взаимное расположение прямой и пары точек
- •2.3. Расстояние от точки до прямой
- •2.4. Пучок прямых
- •2.5. Угол между прямыми
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •2.7. Точка пересечения непараллельных прямых
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.1. Варианты типового расчета «Прямая на плоскости»
- •3.2. Примеры выполнения заданий типового расчета
- •3.3. Творческое задание
- •3.4. Ответы
2.3. Расстояние от точки до прямой
Рис. 5 |
Расстояние d от точки до прямой Ax + By + C = 0 (рис. 5) вычисляется по формуле: . (16) |
2.4. Пучок прямых
Через одну фиксированную точку (рис. 6) на плоскости можно провести бесконечное множество прямых. Это множество называется цент-ральным пучком (пучком) прямых, а точка называется центром пучка. Каждую из прямых пучка (кроме той, которая параллельна оси
ординат) можно представить уравнением:
|
(17) |
где tg – угловой коэффициент прямой (см. рис. 6). Уравнение вида (17) называется уравнением пучка прямых с центром в точке |
Рис. 6 |
2.5. Угол между прямыми
Если пара прямых на плоскости задана общими уравнениями: (рис. 7, прямая f) и (рис. 7, прямая g), то косинус угла между этими прямыми может быть вычислен по формуле: |
Рис. 7 |
|
(18) |
Если пара прямых на плоскости задана уравнениями «с угловым коэффициентом»: и , то тангенс угла между этими прямыми рассчитывается по уравнению:
tg |
(19) |
Если пара прямых на плоскости задана своими каноническими уравнениями: и то косинус угла между этими прямыми определяется по формуле:
|
(20) |
2.6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Прямые, заданные общими уравнениями: и взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда Данные прямые параллельны тогда и только тогда, когда
Прямые на плоскости, заданные в виде: и перпендикулярны только том случае, когда (при ). Данные прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, т. е.
Прямые, заданные своими каноническими уравнениями: и взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда Данные прямые параллельны, если только выполнено условие:
2.7. Точка пересечения непараллельных прямых
Если на плоскости заданы две прямые: и , то согласно утверждению 2 координаты точки пересечения этих прямых можно вычислить по формулам:
|
(21) |
|
(22) |
Задания для самостоятельной работы
3.1. Варианты типового расчета «Прямая на плоскости»
Задание 1. Указать особенности в расположении прямых на плоскости (прямая общего положения, проходящая или не проходящая через начало координат; прямая, параллельная оси Ох или Оу) и сделать чертеж. Уравнения заданных прямых по вариантам представлены в табл. 1.
Таблица 1
Данные к заданию 1
Вариант |
Данные прямые |
Вариант |
Данные прямые |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
а) б) в) |
2 |
а) б) в) |
3 |
а) б) в) |
4 |
а) б) в) |
5 |
а) б) в) |
6 |
а) б) в) |
7 |
а) б) в) |
8 |
а) б) в) |
9 |
а) б) в) |
10 |
а) б) в) |
11 |
а) б) в) |
12 |
а) б) в) |
Окончание табл. 1
1 |
2 |
3 |
4 |
13 |
а) б) в) |
14 |
а) б) в) |
15 |
а) б) в) |
16 |
а) б) в) |
17 |
а) б) в) |
18 |
а) б) в) |
19 |
а) б) в) |
20 |
а) б) в) |
21 |
а) б) в) |
22 |
а) б) в) |
23 |
а) б) в) |
24 |
а) б) в) |
25 |
а) б) в) |
26 |
а) б) в) |
27 |
а) б) в) |
28 |
а) б) в) |
29 |
а) б) в) |
30 |
а) б) в) |
Задание 2. Выбрать из имеющегося списка прямых на плоскости (табл. 2) пары: а) пересекающихся прямых; б) совпадающих прямых; в) прямых, не имеющих общих точек.
Таблица 2
Данные к заданию 2
Вариант |
Данные прямые |
Вариант |
Данные прямые |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
4) 5) |
2 |
4) 5) |
3 |
1) 2) 3) 4) 5) |
4 |
1) 2) 3) 4) 5) |
5 |
1) 2) 3) 4) 5) |
6 |
1) 2) 3) 4) 5) |
7 |
1) 2) 3) 4) 5) |
8 |
1) 2) 3) 4) 5) |
9 |
1) 2) 3) 4) 5) |
10 |
1) 2) 3) 4) 5) |
Продолжение табл. 2
1 |
2 |
3 |
4 |
11 |
1) 2) 3) 4) 5) |
12 |
1) 2) 3) 4) 5) |
13 |
1) 2) 3) 4) 5) |
14 |
1) 2) 3) 4) 5) |
15 |
1) 2) 3) 4) 5) |
16 |
1) 2) 3) 4) 5) |
17 |
1) 2) 3) 4) 5) |
18 |
1) 2) 3) 4) 5) |
19 |
1) 2) 3) 4) 5) |
20 |
1) 2) 3) 4) 5) |
Окончание табл. 2
1 |
2 |
3 |
4 |
21 |
1) 2) 3) 4) 5) |
22 |
1) 2) 3) 4) 5) |
23 |
1) 2) 3) 4) 5) |
24 |
1) 2) 3) 4) 5) |
25 |
1) 2) 3) 4) 5) |
26 |
1) 2) 3) 4) 5) |
27 |
1) 2) 3) 4) 5) |
28 |
1) 2) 3) 4) 5) |
29 |
1) 2) 3) 4) 5) |
30 |
1) 2) 3) 4) 5) |
Задание 3. Две точки на плоскости заданы координатами: и , – некоторый угол (табл. 3). Составить: 1) уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы; 2) уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью абсцисс угол .
Таблица 3
Данные к заданию 3
Ва-риант |
Данные |
Ва-риант |
Данные |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
30º |
2 |
60º |
3 |
45º |
4 |
90º |
5 |
75º |
6 |
120º |
7 |
135º |
8 |
150º |
9 |
30º |
10 |
60º |
11 |
45º |
12 |
90º |
13 |
75º |
14 |
120º |
15 |
135º |
16 |
150º |
17 |
30º |
18 |
60º |
19 |
45º |
20 |
90º |
21 |
75º |
22 |
120º |
23 |
135º |
24 |
150º |
25 |
30º |
26 |
60º |
27 |
45º |
28 |
90º |
Окончание табл. 3
1 |
2 |
3 |
4 |
29 |
75º |
30 |
120º |
Задание 4. Дано общее уравнение прямой (табл. 4), записать для нее следующие виды уравнений:
1) каноническое
2) параметрические
3) «с угловым коэффициентом»
4) «в отрезках»
5) нормальное
Построить заданную прямую в системе координат хОу.
Таблица 4
Данные к заданию 4
Ва-риант |
Данные |
Ва-риант |
Данные |
Ва-риант |
Данные |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
Окончание табл. 4
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|
Задание 5. Даны прямые и точка М (табл. 5). Составить уравнения прямых, проходящих: 1) через точку М параллельно прямой l; 2) через точку М перпендикулярно прямой l.
Найти угол между прямыми и и расстояние d от точки М до прямой l.
Таблица 5
Данные к заданию 5
Ва-риант |
Данные |
Ва-риант |
Данные |
Ва-риант |
Данные |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
Продолжение табл. 5
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|
Задание 6. Отметить на координатной плоскости область решения системы линейных неравенств (табл. 6).
Таблица 6
Данные к заданию 6
Ва-ри-ант |
Система неравенств |
Ва-ри-ант |
Система неравенств |
Ва-ри-ант |
Система неравенств |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|