2.2.2 Свойства пар сил.

1 . Момент пары равен сумме моментов сил пары относительно произвольного центра (точки) О:

.

2. Момент пары относительно любого центра равен моменту пары m:

3. Момент пары равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы пары:

Теорема 1. Пары сил с равными моментами эквивалентны.

Следствия:

1. Пару сил, приложенную к твердому телу, можно заменить другой парой в той же плоскости, если при такой замене не изменяется величина момента пары и его направление:

2. Пару сил можно переносить в плоскость, параллельную плоскости пары.

Теорема 2. Совокупность нескольких пар с моментами эквивалентна одной паре, момент которой равен геометрической сумме моментов данных пар:

Если пары лежат в одной плоскости, то момент пары считают величиной алгебраической, так как в этом случае все вектора моментов пар параллельны. Алгебраический момент пары равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары:

.

З нак «+» соответствует повороту тела под действием пары против хода часовой стрелки, «─»  по ходу часовой стрелки.

Пары сил на плоскости часто изображается дуговой стрелкой, показывающей направление поворота тела парой.

Согласно теореме 2 на плоскости пары можно заменить одной парой с моментом равным алгебраической сумме моментов пар:

m = m₁ + m₂ + ... + m_n.

Если на тело действует плоская система пар, то тело находится в равновесии, если сумма моментов пар равна нулю:

.

3. Приведение сил к заданному центру

2.3.1 Лемма Пуансо.

Теорема1 - О параллельном переносе силы (лемма Пуансо): силу , не изменяя ее действие на абсолютно твердое тело, можно переносить из данной точки А в любую другую точку О тела, прибавляя при этом пару с моментом равным моменту переносимой силы относительно точки О, в которую переносится сила

Доказательство

Пусть сила приложена к телу в точке А. Приложим в точке О уравновешенную систему сил и параллельных и равных по модулю силе , равновесие тела при этом не нарушится (аксиома 2, §1). Таким образом, сила перенесена из точки А в точку О без изменения ее действия. В точке О приложена сила и момент этой силы относительно центра О.

2.3.2 Теорема Пуансо.

Теорема 2 – О приведении системы сил к заданному центру (теорема Пуансо): Любая система сил , действующая на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольному центру О заменяется главным вектором системы сил , приложенным в центре О и парой сил с моментом , равным главному моменту системы сил относительно центра О.

Д оказательство

Используя теорему 1, перенесем все силы в центр О, прибавляя пары с моментами равными моментам сил относительно центра О. Сложив все силы и моменты, получим в центре О

два вектора и равные:

В еличина главного вектора

не зависит от выбора центра О, а значение главного момента при изменении положения центра О может изменяться.

Для плоской системы сил главный вектор лежит в плоскости действия сил, а главный момент  перпендикулярен этой плоскости. Поэтому главный момент плоской системы сил относительно центра О определяется как сумма алгебраических моментов сил относительно центра О и изображается на плоскости дуговой стрелкой.