2. Затухающие колебания точки при линейном законе сопротивления среды

П усть на точку М при ее движении действуют две силы:

- восстанавливающая;

- сила вязкого трения (сопротивления), направленная против движения, μ - коэффициент сопротивления.

Дифференциальное уравнение движение точки:

.

Обозначим:

.

Это дифференциальное уравнение свободных колебаний точки при сопротивлении среды пропорциональном ее скорости движения. Его решение имеет вид [1]:

,

где ; при

Это закон затухающих колебаний.

Свойства затухающих колебаний:

• график затухающих колебаний заключен между кривыми , так как ;

• период затухающих колебаний .

• если , то , то есть очень малое сопротивление на период затухающих колебаний не влияет, происходит постепенное затухание колебаний за счет уменьшения амплитуды колебаний по закону геометрической прогрессии со знаменателем ;

• быстрота затухания колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания колебаний – логарифмом отношения двух смежных амплитуд:

• ;

• если , то есть сопротивление очень велико, движение не будет колебательным, это так называемое апериодическое движение;

• при график апериодического движения имеет вид изображенный на рисунке, при

• графики симметричны относительно оси t;

• если , то движение также апериодическое, а графики аналогичны.

10.3 Вопросы для самоконтроля

• Какая сила вызывает гармонические колебания точки по прямой?

• Что называют амплитудой, фазой, начальной фазой, периодом и частотой колебаний? Какие из этих параметров зависят от начальных условий?

• Как определяется статическое отклонение центра гармонических колебаний?

• Как определяется жесткость эквивалентной пружины при различных способах соединения пружин?

• Под действием каких сил материальная точка совершает затухающие колебания. Перечислите свойства затухающих колебаний точки.

ЛЕКЦИЯ №11

11.1 Вынужденные колебания точки в отсутствие сопротивления среды

Пусть на точку М действуют две силы:

- восстанавливающая;

- возмущающая гармоническая сила, где p – частота возмущающей силы.

Колебания, происходящие под действием возмущающей силы, называются вынужденными.

Дифференциальное уравнение движения точки М имеет вид:

.

Обозначим:

.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого имеет вид [1]:

собственные вынужденные

колебания

- амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных условий. Подбирая соотношения частот собственных и вынужденных колебаний можно получать вынужденные колебания с различными амплитудами В.

.

где - величина статического отклонения точки под действием силы .

- коэффициент динамичности, показывает во сколько раз амплитуда В вынужденных колебаний больше статического отклонения . Коэффициент динамичности зависит от отношения частот вынужденных p и собственных k колебаний:

- коэффициент расстройства.

Е сли

, то есть , то вынужденные колебания точки в среде без сопротивления являются гармоническими колебаниями с постоянной амплитудой. Их частота совпадает с частотой возмущающей силы . Они совершенно не зависят от начальных условий. Если , то фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы. Если , то фазы противоположны.

Если , то есть z=1, частоты собственных и вынужденных колебаний совпадают, имеет место явление резонанса. В этом случае амплитуда колебаний со временем неограниченно возрастает. Практически этот случай невозможен, так как сопротивление хотя бы очень малое присутствует.