12.2. Модели рядов, содержащих сезонную компоненту
Под временными рядами, содержащими сезонную компоненту, понимаются процессы, при формировании значений которых обязательно присутствовали сезонные и/или циклические факторы.
Один из распространенных подходов к прогнозированию состоит в следующем: ряд раскладывается на долговременную, сезонную (в том числе, циклическую) и случайную составляющие; затем долговременную составляющую подгоняют полиномом, сезонную – рядом Фурье, после чего прогноз осуществляется экстраполяцией этих подогнанных значений в будущее. Однако этот подход может приводить к серьезным ошибкам. Во-первых, короткие участки стационарного ряда (а в экономических приложениях редко бывают достаточно длинные временные ряды) могут выглядеть похожими на фрагменты полиномиальных или гармонических функций, что приведет к их неправомерной аппроксимации и представлению в качестве неслучайной составляющей. Во-вторых, даже если ряд действительно включает неслучайные полиномиальные и гармонические компоненты, их формальная аппроксимация может потребовать слишком большого числа параметров, т.е. получающаяся параметризация модели оказывается неэкономичной.
Принципиально другой подход основан на модификации ARIMA-моделей с помощью «упрощающих операторов». Схематично процедура построения сезонных моделей, основанных на ARIMA-конструкциях, модифицированных с помощью упрощающих операторов ÑT = 1 – LT_, может быть описана следующим образом (детальное описание соответствующих процедур см., например, в [Бокс, Дженкинс (1974)]:
Применяем к наблюдаемому ряду xt операторы D и ÑT для достижения стационарности;
По виду автокорреляционной функции преобразованного ряда
подбираем пробную модель в классе ARMA–
или модифицированных (в правой части)
ARMA-моделей;По значениям соответствующих автоковариаций ряда получаем (методом моментов) оценки параметров пробной модели;
Диагностическая проверка полученной модели (анализ остатков в описании реального ряда xt с помощью построенной модели) может либо подтвердить правильность модели, либо указать пути ее улучшения, что приводит к новой подгонке и повторению всей процедуры.
Более детальное описание этих процедур можно найти в [Бокс, Дженкинс (1974)].
Регрессионные модели с распределенными лагами. Построение анализа линейных регрессионных моделей. Уместность рассмотрения некоторых специальных вопросов этой проблематики, посвященной временным рядам, объясняется тем, что в качестве исходных статистических данных мы располагаем наблюдениями двух временных рядов
х(1), х(2),…,х(N), (12.1)
y(1), y(2),…,y(N).
Нашей целью является построение линейной регрессионной модели, позволяющей с наименьшими (в определенном смысле) ошибками восстанавливать и прогнозировать значения y(t) по значениям x(t), x(t – 1),.. .,x(t – Т) для t T +1 (при этом предполагается, конечно, что Т N). Иначе говоря, мы будем рассматривать модели вида
y(t)
=c0
+
kx(t-k)
+(t),
t
= T
+1, T+2,…,
(12. 2)
где (t), t = 1,2,..., N, как и прежде, последовательность гомоскедастичных и взаимно не коррелированных (и не коррелированных с x(t),x(t – 1),...,x(t – T)) регрессионных остатков, а со, 0, 1,…,T и 02 = D(t) – неизвестные параметры модели.
При этом, для «очень длинных» (теоретически-бесконечных) временных рядов (12.1) в анализируемой модели (12.2) допускается случай Т =∞, т.е. суммирование в правой части (12.2) ведется по k от 0 до ∞.
Подобные модели оказываются естественными (и, соответственно, правильно специфицированными) в ситуациях, когда две переменные х и у связаны так, что воздействие единовременного изменения одной из них (х) на другую (у) сказывается в течение достаточно продолжительного периода времени (Т), т.е. наблюдается распределенный во времени эффект воздействия. В частности, такие связи возникают, в первую очередь, между, регистрируемыми во времени входными и выходными характеристиками процессов накопления и распределения ресурсов (например, процессов преобразования доходов населения в его расходы) или процессов трансформации затрат, результаты (например, процессов воспроизводства основных доходов). Рассмотрим эти примеры.