2.6. Формула Майора

Відомо, що ентальпія ідеального газу дорівнює сумі внутрішньої енергії системи та добутку тиску на об’єм системи - формула (2.22), тобто

.

Продиференціюємо дане рівняння за температурою і отримаємо вираз:

(2.32)

.

За рівнянням Клапейрона термічне рівняння стану ідеального газу має вигляд:

.

Підставимо дане рівняння в попереднє і отримаємо:

(2.33)

.

Згідно з попередніми міркуваннями відомо, що

та .

П

(2.34)

ідставимо ці вирази у продиференційоване рівняння (2.32) і a тоді його можна записати у вигляді (для конкретного газу) :

,

або

(2.35)

.

Питомі теплоємності (ізобарна c_р^і та ізохорна c_vⁱ) для кожного індивідуального газу свої і шукають їх за відповідними теплотехнічними таблицями.

За допомогою цього рівняння Майєр, ще до появи робіт Джоуля в 1842 р., зробив спробу обчислити значення механічного еквівалента теплоти: знайшовши значення (c_р - c_v) в калоріях [ккал/(кг· К)] за результатами експериментальних вимірювань теплоємності газів при невисоких тисках і обчисливши значення R_i в кілограмометрах [кгс м/(кг· К)] із результатів розрахунку за рівнянням Клапейрона

R_і = p∙v/T

Майєр прирівняв ці величини і таким шляхом обчислив механічний еквівалент теплоти. Числове значення І було не дуже точним внаслідок невисокої точності виконаних ним експериментальних значень теплоємностей c_р^і та c_vⁱ газів.

Отже, ми вже вияснили, що - газова постійна для індивідуального газу; має розмірність і визначається як розрахунком, так і за відповідними таблицями, складеними за дослідними матеріалами для кожного конкретного газу. Рівняння (2.35) має назву – формула Майєра.

Якщо всі члени даного рівняння помножити на молекулярну масу певного газу, то отримаємо:

(2.36)

,

де - універсальна газова постійна, для всіх газів однакова, тобто

= R_μ = μ·R.

Отже, мольна теплоємність ідеального газу дорівнює

μ_і с_р^і = μ_і с_v^і + 8314. (2.36а)

Отже, фізичний зміст газової постійної - це робота розширення 1 кг певного газу в ізобарному процесі при зміні температури на 1 градус.

Фізичний зміст універсальної газової постійної - це робота розширення 1 кмоля будь-якого газу в ізобарному процесі при ∆t = 1 град.

Зв’язок між ізобарною та ізохорною теплоємностями описується рівнянням:

(2.37)

,

де k-показник адіабати або коефціент Пуасона.

Для кожного конкретного газу значення показника k_і своє, так як теплоємності с_р^і та с_v^і для кожного конкретного газу строго індивідуальні. Наприклад, для повітря k = 1,4.

Висновок із формули Майєра:

Отже, ізобарна теплоємність завжди більша від ізохорної (як для ідеальних газів, так і для реальних газів і крапельних рідин):

а) в k раз (за рівнянням (2.37));

б) на величину R_і (за рівнянням (2.35)).

3. Другий закон термодинаміки

3.1. Кругові процеси (цикли). Робота та тепло кругових процесів

Із попереднього розділу відомо, що в процесі розширення газ виконує роботу проти сил зовнішнього тиску. Робота, яку виконує газ при розширенні від тиску p₁ до тиску p₂ описується рівнянням:

(3.1)

,

де V₁ і V₂ - об’єми газу відповідно в точках початку та кінця процесу розширення.

Для того, щоб знову повторився той же процес розширення газу і знову отримати роботу потрібно повернути газ у первісний стан, який характеризується параметрами p₁ та V₁, тобто стиснути газ. При цьому газ здійснить круговий процес (цикл). Отже, круговий процес (цикл) – це такий процес, в результаті якого система переходить із стану 1 в стан 2 і повертається назад.

P

Рис. 3.1. До поняття про кругові процеси: 1-а-2- розширення робочого тіла, 2-в-1- стиснення робочого тіла.

Н а стиснення газу (процес 2-в-1), природно, повинна бути затрачена робота; ця робота підводиться до газу від якого-небудь зовнішнього джерела. У відповідності із загальним визначенням ця робота запишеться у вигляді

, (3.2)

або те ж саме:

(3.3)

.

Подібність виразів для визначення роботи стиснення та розширення уявна – робота залежить від шляху, по якому проходить процес між одними і тими ж точками 1 і 2.

Робота, яку віддає система за один цикл (робота циклу), дорівнює різниці (алгебраїчній сумі) роботи розширення та роботи стиснення:

(3.4)

Зрозуміло, що процес стиснення газу від тиску p₂ до тиску p₁ потрібно здійснити по шляху відмінному від шляху процесу розширення (в нашому випадку: розширення 1-а-2, а стиснення 2-в-1). В противному випадку робота, яку отримують при розширенні газу, буде дорівнювати роботі, яку затрачують на стиснення газу,(тобто якщо стиснення і розширення газу проходить по одному і тому ж шляху) і сумарна робота, отримана в результаті описаного кругового процесу, буде дорівнювати нулю, тобто у випадку, коли , то .

Звідси випливає, що шлях процесу стиснення необхідно вибирати таким чином, щоб робота стиснення за абсолютною величиною була меншою від роботи розширення, тобто, L_розш > L_стисн, тоді робота циклу буде додатною, (тобто ми маємо виграш в роботі); в іншому випадку (коли L_{роз ш} < L_стисн) робота циклу буде від’ємною, тобто в результаті циклу робота буде не вироблятися, а затрачатися.

Існують процеси, в яких використовується якраз така побудова циклу (наприклад, в циклах холодильних машин, які ми будемо ще розглядати).

Роботу циклу досить зручно обчислювати графічно за p-V -діаграмою. Наприклад, на рис. 3.1 зображено прямий круговий процес (прямий цикл). Якщо 1-а-2 – крива процесу розширення, а 2-в-1 – крива процесу стиснення, то площа під кривою 1-а-2 еквівалентна роботі розширення L_розм, а площа під кривою 2-в-1 – роботі стиснення L_ст. Площа, обмежена кривою (кривою циклу) 1-а-2-в-1 – буде еквівалентна роботі циклу (прямого).

Із цього графіка видно, що для того, щоб робота циклу була додатною, потрібно, щоб крива процесу стиснення на p - V- діаграмі була розміщена нижче від кривої розширення.

Такі кругові процеси, в результаті яких робота циклу буде додатною, здійснюються в різного роду теплових двигунах – безперервно діючих системах, що здійснюють кругові процеси (цикли), і в яких теплота перетворюється в роботу з допомогою якого-небудь робочого тіла.

Виходячи із І-го закону термодинаміки:

(3.5)

або (інтеграл по замкнутому контуру для довільного циклу, який здійснює робоче тіло).

Проінтегруємо диференційне рівняння І-го закону термодинаміки (3.5) для довільного циклу, який здійснюється робочим тілом:

. (3.5а)

Нагадаємо, що Q - теплота, яке підводиться до системи ззовні (або відводиться від ТДС), а L - робота, яку здійснює система (або виконана над системою). Оскільки внутрішня енергія є функцією стану і, отже, її інтеграл по замкнутому контуру дорівнює нулю (тобто при поверненні робочого тіла після здійснення циклу в первинний стан внутрішня енергія робочого тіла приймає первинне значення), отримаємо

. (3.6)

П означимо та , тоді попереднє рівняння можна записати у вигляді:

Q_ц = L_ц , (3.6а)

бо внутрішня енергія U є функцією стану і, значить, при поверненні системи (робочого тіла) в первісний стан в результаті здійснення циклу, внутрішня енергія робочого тіла приймає первинне значення, тобто її інтеграл по замкнутому контуру дорівнює нулю , звідки dU=0.

Отже, робота циклу L_ц дорівнює кількості теплоти Q_ц , підведеної ззовні до робочого тіла.

У відповідності із І-им законом термодинаміки це співвідношення показує, що робота, яку виробляє двигун, строго дорівнює кількості теплоти, відібраної від зовнішнього джерела теплоти і підведеної до робочого тіла двигуна.

Якщо б можна було побудувати такий тепловий двигун, в якому кількість продукованої (виробленої) роботи була б більшою, ніж кількість теплоти, підведеної до робочого тіла від зовнішнього джерела, тобто L_ц > Q_ц то це означало б, що І-ий закон термодинаміки не справджується. Із цього випливає, що можна було б побудувати такий тепловий двигун, в якому робота продукувалась (вироблялась) би взагалі без підведення теплоти ззовні, тобто вічний двигун І-го роду.

Тому І-ий закон термодинаміки можна сформулювати наступним чином: вічний двигун першого роду неможливий, тобто не можна отримати роботу без затрат тепла ззовні.