1.4. Частота события

Как следует из приведенных выше определений, всякое событие мы рассматриваем как результат некоторого эксперимента или опыта, происходящего по воле человека или независимо от нее. Однако теория вероятностей имеет дело не с любыми экспериментами с неопределенным исходом, а лишь с экспериментами, обладающими свойством статистической устойчивости или устойчивости частот.

Это свойство можно описать следующим образом. Пусть событие А является результатом некоторого опыта. Повторим этот опыт n раз и обозначим через k число появлений события А в этих n опытах. Тогда число k/n называется частотой случайного события А. Свойство же устойчивости частот заключается в том, что если сделать несколько серий экспериментов (причем, каждая серия состоит из достаточно большого числа опытов), то, несмотря на случайный результат каждого отдельного опыта, частоты событий в каждой из этих серий будут близки между собой. Например, если многократно подбрасывать монету, то частота появления герба постепенно выравнивается, приближаясь к . В хорошо налаженном производстве устойчивым оказывается процент доброкачественных изделий. Многолетние наблюдения показывают, что частота рождения мальчиков для самых разных географических и климатических условий весьма устойчива (приблизительно равна 0,51). Устойчивость частот наблюдается даже в таких сугубо непредсказуемых явлениях, как уличный травматизм (это позволяет планировать работу службы скорой помощи).

Устойчивость частот наблюдается при наличии массы однородных опытов, для которых механизм влияния случайных факторов сходен. Не обладают свойством устойчивости частот те явления с неопределенным исходом, где условия явно неоднородны и даже несопоставимы. Например, бессмысленно говорить об устойчивой “частоте возникновения войн”, об устойчивой частоте правильно решенных научных проблем или появлении гениальных произведений искусства.

Следует отметить, что отдельное случайное явление остается в своем результате неопределенным, непредсказуемым; только в массе случайных

явлений проявляются закономерности. При очень большом числе таких явлений случайность, непредсказуемость практически исчезает.

Именно такие закономерности (а точнее их математические модели) и являются предметом изучения теории вероятностей.

1.5. Статистическое определение вероятности

Чтобы сравнивать события по степени их возможности, поставим в соответствие каждому из них некоторое число. Это число назовем вероятностью события. Оно будет тем больше, чем более возможно событие. Так как закономерности явлений связаны с устойчивостью частот, то понятие о частоте события и послужило основой для так называемого статистического определения вероятности.

Определение. Событие А имеет вероятность Р(А), если:

1) можно, по крайней мере, принципиально произвести в неизменных условиях неограниченное число (независимых друг от друга) опытов, в каждом из которых событие А может произойти или не произойти;

2) для каждой большой серии опытов частота события незначительно отличается от некоторого (вообще говоря, неизвестного) числа Р.

Число Р=Р(А) называется статистической вероятностью события А и в качестве его значения берется частота события при большом числе опытов:

.

Приписывая каждому событию А вероятность Р(А), считаем, что между этим событием и тем комплексом условий, при котором событие наблюдается, существует объективная связь. Например, Р(А) = означает следующее: несмотря на то, что результат каждого из опытов является случайным и заранее предсказан быть не может, в большой серии опытов примерно их часть приводит к появлению события А.

Строгое обоснование введенного выше понятия вероятности будет дано в курсе математической статистики.