1.3. Кинематика материальной точки. Скорость и ускорение

Как было уже указано выше, кинематика – раздел механики, изучающий механические формы движения без учета причин, вызывающих это движение. Поиск ответа на основной вопрос кинематики начнем с описания движения простейшей модели – материальной точки,

1.3.1. Система отсчета

Механическое движение как физическое понятие приобретает конкретный смысл при выполнении следующих двух требований:

а) необходимо указать, относительного какого тела (тела отсчета) перемещается объект, движение которого изучается;

б) важным является возможность сравнивать длительность рассматриваемого движения по сравнению с длительностью некоторого эталонного процесса (часов).

Первое из этих требований непосредственно связано с фундаментальным свойством природы: всякое движение относительно.

Для выполнения второго требования можно в качестве часов использовать любой периодический процесс, период которого принимают за единицу отсчета времени.

Например: период вращения Земли вокруг Солнца – 1 год; период вращения Земли вокруг собственной оси – 1 сутки и т.д.

Совокупность тела отсчета и часов, неподвижных относительно тела отсчета, называется системой отсчета.

Характер и вид движения существенным образом зависит от выбора системы отсчета.

Например: точка, лежащая на ободе колеса, катящегося по горизонтальной поверхности:

а) неподвижна относительно любой другой точки колеса;

б) вращается относительно оси колеса;

в) движется относительно горизонтальной поверхности по сложной кривой (по циклоиде).

Из этого примера ясно, какую важную роль играет удачный выбор системы отсчета для описания и понимания характера движения.

Выводы: Для описания движения рассматриваемого объекта необходима система отсчета (тело отсчета и часы). Так как всякое движение относительно, то его характер существенным образом зависит от выбора системы отсчета.

Контрольные вопросы

1.1. Попытайтесь качественно изобразить вид траектории точки экватора Земли при движении Земли вокруг собственной оси; вокруг Солнца.

1.3.2. Радиус-вектор, вектор перемещения

Для описания движения материальной точки в каждый момент времени необходимо указать ее положение относительно выбранной системы отсчета. Для этого с телом отсчета связывают систему координат – способ, с помощью которого задают числа (координаты точки), полностью определяющие положение материальной точки относительно тела отсчета. Важнейшими системами координат являются прямоугольные декартовы системы координат (рис 1.1), в которых положение точки А однозначно определяется ее координатами x, y, z

Рис. 1.1

по отношению к началу координат О, связанному с телом отсчета. Поскольку тело отсчета и материальная точка определяют в пространстве физически выделенное направление OA, то положение материальной точки в данной системе координат (XYZ) можно характеризовать одной векторной величиной – радиус-вектором. Задать радиус-вектор положения материальной точки А – означает: указать, на каком расстоянии от тела отсчета (модуль радиус-вектора ) и в каком направлении относительно выбранных координатных

направлений (полярный –  и азимутальный –  углы) находится материальная точка А.

Из рис. 1.1 непосредственно видно, что проекции радиус-вектора на оси координат определяют координаты материальной точки x, y, z.

Преимущество векторного способа описания проявляется в том, что он компактнее координатного. Однако необходимо четко понимать, что векторный способ описания положения точки требует задания трех чисел: r, ,  так же, как и координатный.

Зная координаты точки x, y, z, нетрудно получить значения r, , :

, , , (1.1)

где cos, cos – направляющие косинуса радиус-вектора .

Если известны числа r, , , то координаты x, y, z частицы определяются соотношениями:

, , . (1.2)

При движении материальной точки ее положение относительно начала координат с течением времени изменяется, а следовательно может изменяться как модуль, так и направление радиус-вектора .

Следовательно, радиус-вектор является функцией времени:

,

или

, , . (1.3)

Эти функции, которые однозначно определяют характер и вид движения частицы, называются кинематическими уравнениями движения материальной точки. При этом конец радиус-вектора описывает в пространстве линию – траекторию движения.

Изменение положения материальной точки при ее движении из некоторого начального положения в момент времени t, характеризуемого радиус-вектором , в другое положение в момент времени , характеризуемого радиус-вектором , определяется вектором , который называется вектором

Рис. 1.2

перемещения (рис. 1.2). Здесь следует четко понять, что вектор перемещения характеризует результирующее изменение положения материальной точки за промежуток времени , и не содержит в себе информации ни о виде траектории, ни о характере движения по ней. Кроме этого, даже из рисунка следует, что величина перемещения , путь S12, пройденный материальной точкой, и длина дуги траектории l12, заключенной между положениями 1 и 2, в общем случае

различны по величине, то есть

. (1.4)

Выводы: Положение материальной точки в выбранной системе отсчета, характеризуется радиус-вектором. При движении частицы ее радиус-вектор изменяется. Закон этого изменения с течением времени полностью определяет вид траектории частицы и характер движения по ней. Вектор перемещения описывает изменение положения за данный промежуток времени.

Контрольные вопросы

1.2. Охарактеризуйте движения частицы, соответствующие соотношениям а) , б) .

1.3. Используя рис.1.1, убедитесь в справедливости соотношений (1.1) и (1.2).