33. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.

Пусть изучается случайная величина Х. С этой целью произведено n наблюдений, в результате которых получена выборка (1) х1, х2, …,хn. Совокупность (1) наз-ся статистическим рядом. Обычно из этих значений выбирают все различные и располагают в ряд в порядке возрастания. Пусть x1<x2<…<xn, причем х1 повторяется n1 раз, х2 - n2 раз, хк - nk раз. (2) х1, х2, …,хк - наз-ся вариационным рядом.

,

хi - варианта, ni - частота.

- относительная частота или частоты. Соответствие между вариантами вариационного ряда и их частотами или относительной частотой наз-ют статистическим распределением выборки

;

Полигоном частот (относит.) наз-ся ломаная, соединяющая последовательные точки (xi, ni) ((xi, wi)). Если число наблюдений велико, то статистическое распределение записывают в интервальной форме. Для этого весь диапазон полученных значений разбивают на интервалы обычно равной длины h.

В качестве частоты ni соответствующему i - тому интервалу берут сумму частоты вариант, попавших в этот интервал. Если варианта совпала с концом интервала, то ее причисляют либо к левому, либо к правому интервалу. Гистограммой частот (относит. частот) наз-ся ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников. Основанием i - того прямоугольника яв-ся i - тый интервал длины h, а его площадь равна чистоте (относит. частоте) i - того интервала, т.е. его высота равна ni/h (wi/h). Площадь всей гистограммы частот (относит.) равна объему выборки n (1). В пределе мы получаем кривую, яв-ся графиком плотности вероятности.

34. Статистические оценки параметров распределения.

Пусть требуется определить некоторый параметр  закона распределения случайной величины х. ( - мат. ожидание, дисперсия, СКО ). Обычно у нас имеется ограниченный статистический материал, т.е. выборка x1, x2,…,xn. Через эти значения xi и выражают приближенно параметр , такое приближенное значение параметра  наз-ют его оценкой и обозначают *. Желательно, чтобы оценка обладала след.

св-вами: 1. Состоятельность - оценка * должна стремиться по вероятности к параметру ;

2. Несмещенность - М(*)=. Оценка, облад таким св-ом наз несмещ.

3.Эффективность. Ее требуют от несмещенной оценки. Желательно, чтобы дисперсия взятой оценки была маленькой, чтобы, взяв одно из значений оценки, мы не получили мы не получили большую погрешность. Это требует, чтобы дисперсия данной оценки была наименьшей по сравнению с другими оценками.

35. Выборочное среднее.

Пусть произведено n независимых испытаний, в результате которых величина Х приняла значения: х1, х2, …,хn. О: Выборочным средним наз-ют среднее ариф. всех полученных значений случайной величины.

.

Если значение xi имеют частоту ni и i=1,k,

,

то формула примет вид

(2)

Если распределение задано в интервальной форме, то в качестве xi выбирают середину i - того интервала.

Преобразуем (2).

.

Выборочное среднее выбирают в качестве оценки МО случайной величины. Выборочное среднее является случайной величиной, меняющейся от выборки к выборке, причем значения x1, x2,…,xn можно рассматривать как возможные значения случайных величин: X1,X2,…Xn, являющихся «экземплярами» случайной величины X. Поэтому:

,

.

Проверим данную оценку на качество:

1) По частному случ. Т. Чеб.

.

Отсюда след.

.

2) (оцека не смещенная).

3) . При возрастании n D(X) убывает, но отсюда не следует её минимальность.

Можно доказать что если случайная величина имеет нормальное распределение то дисперсия выборочного среднего будет наименьшей, т.е. оценка будет эфективней.