11.Формула Байеса.

Пусть событие А может произойти с одним и только с одним из попарно несовместных событий гипотез В₁,…,B_n образующих полную группу. Пусть известно, что произошло событие А. Этот факт может повлиять на вероятности гипотез, т. е. произойдет их переоценка. Найдем усл. вер-ть гипотез при условии что произошло событие А. Р(АВ_i)=Р(А)*Р_А(В_i)=Р(В_i)*Р_Вi(А); Р_А(В_i)= Р(В_i)* Р_Вi(А)/Р(А), или используя формулу полной вероятности:

12. Независимые повторные испытания, формула Бернулли.

Пусть произведено n независ. Испытаний. Вероятн. Появл. События А в каждом испытании равна р, а значит вероятность его непоявления q=1-p. Найдем вероятность события В, сост. в том, что в этих испытаниях событие А появится m раз, вероятн. событ. В обознач. P_n(m)=P(B). А_i - появление события А в i - том испытании -не появление А в i- ом испытании. Здесь в каждом произведении события А_i входит n раз, а A_i (с чертой) m-n раз. Число таких комбинаций столько, сколькими способами м. выбрать из n испытаний те m в котор. произошло событ. А. Вероятность каждой такой комбинации по теореме о умножении независимых событий=р^mq^n-m,

По формуле бинома Ньютона имеем:

13. Локальная теорема Лапласа.

Если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянно и равна p (0<p<1), то вероятность появления события А в этих испытаниях m раз приближенно =

где

Для функции

составлены специальные таблицы при х из[0, 4), при x<0 пользуются четностью, при x>=4 полагают , т.к. функция быстро убывает. Ф-я четная. Формулой пользуются, если npq10. Формула Лапласа дает более точный рез-т при р близких к 0,5, если p или q мало то погрешность м.б. большой. В этих случаях используют ф-лу Пуассона.

14.Теорема Пуассона.

Ф-лу используют если p или d мало. Пусть для опред-ти мало p, и вер-ть появления события А удовлетвор. Условию np=λ-const, с такой ситуацией встреч при редких явлениях.

Теорема: Пусть вероятность появления события А в серии из n независимых испыт. равна p=λ/n, тогда вер. появления события А в этой серии m раз удовл. условию:

(далее переписать эту формулу без предела). Ей пользуются при больших n и малых p и λ 10.

15. Интегральная теорема Лапласа.

Пусть вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и = р-const, тогда вероятность того, что в этих испытаниях события А появится не менее m₁ и не более m₂ раз приближенно =

где

Эти приближенные формулы будут тем точнее, чем больше число испытаний m, обычно ими пользуются когда npq10.

16. Функция Лапласа, ее свойства и график.

Ф-я из интегральной теоремы Лапласа не интегрируется в конечном виде, поэт. вводят ф-ю:

(лучше писать русскую Ф)

Свойства: 1) F(0)=0, 2) F(-x)=-F(x) 3) F(x) - монотонно возрастает, т.к.

- положит. ф-я. 4) lim _(x+)F(x)=1/2;

lim _(x-)F(x)=-1/2. График:

Для нее составлены таблицы при x[0;5] F(5)=0,499995, при x>5 F(x) = 0,5, при x<0 пользуются ее нечетностью.

; ; ,

этой формулой пользуются при больших n и npq10.

17. Применение интегральной теоремы Лапласа и функции Лапласа к вычислению вероятностей

.

Этой формулой пользуются при больших n и при npq=>10.

Пусть производится n независ. испыт., в кажд из к-рых вер-ть появл. соб. А = p. Мы знаем, что при большом числе испыт. относит. частота соб. А близка к его вероятности. Найдем вер. того, что относит. частота отличается от вер-ти не более чем на Е0, т.е.

-(m/n)-p; -+p(m/n)+p; np-nmnp+n; (k₁=np-n, k₂=np+n); к₁mk₂.

Вычислим:

; ;

x’= - x’’;