31. Теорема Чебышева и ее практическое применение.

Теорема: пусть X₁, X₂,…, X_n, последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные МО и дисперсии, ограниченные в совокупности, т.е.D(Х_i)C (с-cont), тогда для любого >0 справедливо:

Док-во: рас-м случайную величину

Найдем

Применим к величине Х неравенство Чебышева:

по теореме о пределе промежуточных переменных получаем требуемое равенство:

Теорема2: (частный случай)

Пусть x₁, x₂,…, x_n, последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих одинаковое математическое ожидание М(Xi)=a, и дисперсии, ограниченные в совокупности D(Xi)С (с-const), тогда для любого >0 справедливо:

Практическое применение теоремы Ч.

Т. Чеб. Говорит о том, что для большого числа случайных величин с большой вероятность их среднее арифметическое принимает значение, близкое к некоторому постоянному числу, что позволяет делать некоторые предсказания. Частный случай теор. Чебыш. является обоснованием метода получения более точных результатов измерений, когда в качестве приближенного значения величины берется среднее арифметическое результатов измерений. Пусть измеряется некоторая постоянная величина. С этой целью производится n измерений, результаты которых есть случайные величины, зависящие от неизбежных погрешностей измерений X₁, X₂,…X_n, тогда в качестве значения неизвестной величины принимают:

.

Такой способ измерения считается правильным по Т. Бернулли, если выполняется следующие условия:

1. Случайные величины независимы, что выполняется, если результаты измерений не зависят друг от друга;

2. Все величины имеют одно и тоже МО, что выполняется если результаты измерения не содержат систематических ошибок;

3. Все дисперсии ограниченны в совокупности, что обеспечивается точностью используемых приборов. Результаты измерений не отличаются друг от друга, тогда дисперсия будет маленькой.

Т. Бернулли является обоснованием выборочного метода в статистике, когда для исследования большой партии берут только наибольшую ее выборку и исследуют, хотя число объектов выборки мало, но оно достаточно для того, чтобы вступил в силу закон больших чисел.

32. Теорема Бернулли. Сходимость по вероятности.

Яв-ся частным случаем теоремы Чебышева. Теорема: Пусть m число появления события А в n независимых испытаниях и вероятность появления события А в каждом испытании=р, тогда для любого >0 справедливо

Док-во: р-рим случайную величину x_i, - число появления события А в i-том испытании. Очевидно, что x_i принимает значение 0 или 1, причем, m=x1+…+xn. Эти величины удовлетворяют следующим условиям:

1) они попарно независимы, т.к. испытания независимы

2) M(xi)=p i=1…n. (все между собой равны)

3) D(xi)=pq=p(1-p)=-(p²-p)=-[(p²-p+1/4)-1/4]=1/4-(p-1/2)²1/4, т.е. ограничены в совокупности. Тогда по теореме Чебышева получим требуемое равенство. Замечание: такое стремление одних величин к другим, когда вероятность их отличия близка к 1, называют стремлением по вероятности. Таким образом относительная частота события стремится по вероятности к его вероятности.

.

Не путать с приближ в смысле мат анализа, это не означает, что

.

Если бы это было так, то начиная с некоторого достаточно большого числа испыт. Относительная частота мало бы отличалась от вероятности. На самом деле такое отличие м.б. и большим, но вероятность этого очень мала.