Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s. Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр с заданной надежностью .
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение:
или
.
Преобразуем
двойное неравенство
в равносильное неравенство
и обозначим /s=q.
Имеем:
(A)
и необходимо найти q. С
этой целью введем в рассмотрение
случайную величину
.
Оказывается,
величина
распределена по закону
с n–1 степенями свободы.
Плотность распределения
имеет вид:
Это распределение не зависит от оцениваемого параметра , а зависит только от объема выборки n.
Преобразуем
неравенство (A) так, чтобы
оно приняло вид
.
Вероятность этого неравенства равна
заданной вероятности
,
т.е.
.
Предполагая, что q<1, перепишем (A) в виде:
,
далее,
умножим все члены неравенства на
:
или
.
Вероятность того, что это неравенство, а также равносильное ему неравенство (A) будет справедливо, равна:
.
Из этого
уравнения можно по заданным
найти
,
используя имеющиеся расчетные таблицы.
Вычислив по выборке
и найдя по таблице
,
получим искомый интервал (A1),
покрывающий с
заданной надежностью
.
Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=25 найдено исправленное среднее квадратическое отклонение s=0.8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95.
Решение.
Используя заданные значения
,
по таблице находим значение q=0.32.
Искомый доверительный интервал есть:
.
Необходимо сделать замечание. Мы предполагали, что q<1. Если это не так, то мы придем к соотношениям:
.
Следовательно, значение q >1 может быть найдено из уравнения:
Проверка статистических гипотез
Закон распределения определяет количественные характеристики генеральной совокупности.
Если закон распределения неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид (например, А), то выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. В этой гипотезе речь идет о виде предполагаемого распределения.
Часто
закон распределения известен, но
неизвестны его параметры. Если есть
основания предположить, что неизвестный
параметр
равен определенному значению
,
то выдвигается гипотеза
.
То есть в этой гипотезе речь идет о
предполагаемой величине параметра
известного распределения.
Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и т.д.
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Примеры статистических гипотез: генеральная совокупность распределена по закону Пуассона; дисперсии двух нормальных распределений равны между собой.
Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза.
Нулевой
(основной) называют выдвинутую гипотезу
.
Альтернативной
(конкурирующей) называют гипотезу
,
которая противоречит нулевой. Например,
если нулевая гипотеза состоит в
предположении, что математическое
ожидание нормального распределения
равно 5, то альтернативная гипотеза,
например, может состоять в предположении,
что
.
Кратко это записывают так:
.
Простой
называют гипотезу, содержащую только
одно предположение. Например, если
– параметр показательного распределения,
то гипотеза
– простая. Сложной называют гипотезу,
состоящую из конечного или бесконечного
числа простых гипотез. Например, сложная
гипотеза
состоит из бесконечного множества
простых гипотез вида
,
где
– любое число, большее 3.
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Так как проверку производят статистическими методами, то ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Следует отметить, что последствия ошибок могут оказаться различными. Если отвергнуто правильное решение «продолжать строительство жилого дома», то эта ошибка первого рода повлечет материальный ущерб; если же принято неправильное решение «продолжать строительство» несмотря на опасность обвала дома, то эта ошибка второго рода может привести к многочисленным жертвам. Иногда, наоборот, ошибка первого рода влечет более тяжелые последствия.
Правильное решение может быть принято также в двух случаях, когда принимается правильная гипотеза или отвергается неверная гипотеза.
Вероятность
совершить ошибку первого рода принято
обозначать через
;
ее называют уровнем значимости.
Чаще всего, уровень значимости принимают
равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят
уровень значимости 0,05, то это означает,
что в пяти случаях из ста имеется риск
допустить ошибку первого рода (отвергнуть
правильную гипотезу).