![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Тема 1. Вероятностные пространства 30
- •Тема 2. Основные вероятностные схемы испытаний 60
- •Тема 3. Случайные величины 87
- •Тема 4. Математическая статистика 140
- •Введение Место теории вероятностей и математической статистики в современной математической науке и их роль в экономических исследованиях
- •Особенности изучения теории вероятностей и математической статистики менеджером
- •Краткие сведения
- •Тема 1. Вероятностные пространства Лекция 1. Пространство случайных событий
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Случайные события
- •Понятие случайного эксперимента
- •Пространство элементарных событий
- •Наступление события, благоприятствующие исходы
- •Совместные (совместимые), несовместные (несовместимые) события
- •Достоверное и невозможное события
- •Алгебра событий Операции над событиями (сумма, разность, произведение)
- •Свойства операций над событиями
- •Алгебра и сигма-алгебра событий
- •Общее определение вероятности
- •Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов
- •Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов
- •Геометрические вероятности
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей
- •, Т.Е. Вероятность достоверного события равна единице;
- •Вероятность события , заключающееся в том, что наступит одно из попарно несовместных событий ( ), составляет
- •Полная группа событий
- •Условная вероятность
- •Формула умножения вероятностей
- •Формула сложения вероятностей
- •Независимость событий
- •Простейшие свойства вероятностей
- •Свойства условных вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Контрольные вопросы к теме №1
- •Тема 2. Основные вероятностные схемы испытаний Лекция 2. Основные формулы вычисления вероятностей
- •Классическая вероятностная схема
- •Правила суммы и произведения
- •Схемы выбора. Основные понятия комбинаторики
- •Выбор без возвращения, с учетом порядка
- •Выбор без возвращения, без учета порядка
- •Выбор с возвращением и с учетом порядка
- •Выбор с возвращением и без учета порядка
- •Урновая схема
- •Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли
- •Предельные теоремы для схемы Бернулли
- •Локальная теорема Муавра–Лапласа
- •Интегральная теорема Муавра – Лапласа
- •Теорема Пуассона
- •Понятие потока событий
- •Полиномиальная схема
- •Понятие цепи Маркова
- •Однородные цепи Маркова
- •Равенство Маркова
- •Предельные вероятности
- •Контрольные вопросы к теме №2
- •Тема 3. Случайные величины Лекция 3. Одномерные случайные величины
- •Непрерывные и дискретные случайные величины
- •Закон распределения случайной величины
- •Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •Свойства функции распределения
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины и ее свойства
- •Среднеквадратическое отклонение
- •Начальные и центральные моменты
- •Основные примеры распределений дискретной случайной величины
- •Биномиальное распределение, его математическое ожидание, дисперсия
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины Функция и плотность распределения вероятностей
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Основные примеры распределений непрерывной случайной величины Равномерное распределение
- •Показательное распределение
- •Нормальное распределение
- •Свойства функции Гаусса
- •Центральная предельная теорема
- •Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал
- •Функция Лапласа и ее свойства
- •Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило «трех сигм»
- •Лекция 4. Многомерные случайные величины
- •Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
- •Совместная функция распределения двумерной случайной величины
- •Свойства совместной функции распределения двумерной случайной величины
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Условное математическое ожидание
- •Независимые случайные величины
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Корреляционный момент
- •Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов
- •Распределение 2
- •Распределение Стьюдента
- •Распределение Фишера
- •Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева
- •Контрольные вопросы к теме №3
- •Тема 4. Математическая статистика Лекция 5. Основы математической статистики
- •Выборочный метод и его основные понятия
- •Способы отбора
- •Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
- •Полигон и гистограмма
- •Эмпирическая функция распределения и ее свойства
- •Свойства эмпирической функции распределения
- •Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок
- •Выборочные среднее и дисперсия
- •Надежность и доверительный интервал
- •Определение доверительных интервалов Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •Проверка статистических гипотез
- •Статистический критерий
- •Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки
- •Критерий согласия Пирсона о виде распределения
- •Элементы теории корреляции
- •Выборочные уравнения регрессии
- •Линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Нелинейная регрессия
- •Логарифмическая модель
- •Обратная модель
- •Степенная модель
- •Показательная модель
- •Цепи Маркова Цепи Маркова с дискретным временем
- •Однородные цепи Маркова
- •Переходные вероятности. Матрица перехода
- •Равенство Маркова
- •Цепи Маркова с непрерывным временем
- •Уравнения Колмогорова
- •Финальные вероятности состояний системы
- •Предельные вероятности
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Технический редактор т.В. Жибуль
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Определение доверительных интервалов Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
Пусть
количественный признак X
генеральной совокупности распределен
нормально, причем среднее квадратическое
отклонение этого
распределения известно. Требуется
оценить неизвестное математическое
ожидание a по выборочному
среднему
.
Найдем доверительные интервалы,
покрывающие параметр a с
надежностью
.
Будем
рассматривать выборочное среднее
,
как случайную величину
(т.к.
меняется
от выборки к выборке), и выборочные
значения
,
как одинаково распределенные независимые
случайные величины
(эти числа также меняются от выборки к
выборке). Другими словами, математическое
ожидание каждой из этих величин равно
a и среднее квадратическое
отклонение – . Так
как случайная величина X
распределена нормально, то и выборочное
среднее
также распределено нормально. Параметры
распределения
равны:
.
Потребуем,
чтобы выполнялось соотношение
,
где
– заданная надежность.
Используем
формулу
.
Заменим
X на
и на
и получим:
,
где
.
Выразив
из последнего равенства
,
получим:
.
Так как вероятность P задана и равна , окончательно имеем:
.
Смысл
полученного соотношения – с надежностью
можно утверждать, что доверительный
интервал
покрывает неизвестный параметр a,
причем точность оценки равна
.
Таким
образом, задача решена. Число
определяется из равенства
;
по таблице функции Лапласа находят
аргумент
,
которому соответствует значение функции
Лапласа, равное
.
Следует
отметить два момента: 1) при возрастании
объема выборки n число
убывает и, следовательно, точность
оценки увеличивается, 2) увеличение
надежности оценки
приводит к увеличению
(так как функция Лапласа – возрастающая
функция) и, следовательно, к возрастанию
,
то есть увеличение надежности оценки
влечет за собой уменьшение ее точности.
Если
требуется оценить математическое
ожидание с наперед заданной точностью
и надежностью
,
то минимальный объем выборки, который
обеспечит эту точность, находят по
формуле
,
следующей из равенства
.
Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительных интервалов.
Оказывается,
что по данным выборки можно построить
случайную величину
,
которая имеет распределение Стьюдента
с
степенями свободы. В последнем выражении
–
– выборочное среднее,
– исправленное среднее квадратическое
отклонение,
– объем выборки; возможные значения
случайной величины T мы
будем обозначать через t.
Плотность распределения Стьюдента
имеет вид:
,
где
некоторая постоянная, выражающаяся
через гамма–функции. Как видно,
распределение Стьюдента определяется
параметром n – объемом
выборки (или, что то же самое – числом
степеней свободы
)
и не зависит от неизвестных параметров
.
Поскольку
– четная функция от t , то
вероятность выполнения неравенства
определяется следующим образом:
.
Заменив неравенство в круглых скобках двойным неравенством, получим выражение для искомого доверительного интервала:
Итак,
с помощью распределения Стьюдента
найден доверительный интервал
,
покрывающий неизвестный параметр a
с надежностью
.
По таблице распределения Стьюдента и
заданным n и
можно найти
,
и, используя найденные по выборке
и
,
можно определить доверительный интервал.
Пример.
Количественный признак X
генеральной совокупности распределен
нормально. По выборке объема n=16
найдены генеральное среднее
и исправленное среднее квадратическое
отклонение
.
Требуется оценить неизвестное
математическое ожидание при помощи
доверительного интервала с надежностью
0,95.
Решение.
Найдем
по таблице распределения Стьюдента,
используя значения
.
Этот параметр оказывается равным 2,13.
Найдем границы доверительного интервала:
.
То есть
с надежностью 0,95 неизвестный параметр
a заключен в доверительном
интервале
.
Можно показать, что при возрастании объема выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n>30 можно вместо него пользоваться нормальным распределением. При малых n это приводит к значительным ошибкам.