§8 Многочлены

Многочленом от называется выражения вида: , ; - старшая степень многочлена; - коэффициенты многочлена, - аргумент многочлена. Если , то . Число , обращающее многочлен в 0, называется корнем многочлена .

Рассмотрим действие деление многочленов если существует такой многочлен , что , где , то говорят, что делится на и - делитель, а - частное.

. - делитель, - частное.

Более общая операция называется делением с остатком: , где .

- остаток, от деления на . Другая запись: - правильный.

Пример. - неправильная дробь. Выделим целую часть: для этого поделим на .

1)сначала делим старшей степени и результат записываем в частное

2)умножаем на делитель и вычитаем из делимого.

Процесс повторяется пока степень делимого не будет меньше степени делителя.

Теорема. Если , то для любого числа справедливо равенство .

Пример. . Найти .

Решение. .

(*)

1 способ.

подставляя в обе части равенства значения аргумента

.

2 способ. нахождения

.

Согласно определению равенства многочленов справа должен стоять многочлен первой степени с теми же коэффициентами, что и у многочлена стоящего слева:

Решая систему находим: .

§9 Корни алгебраического уравнения

Число - является корнем многочлена если .

Задача. Найти все корни многочлена это задача: решить уравнение .

при .

при , согласно теореме Виета .

При решении алгебраических уравнений степени больше (равно 3) полезна теорема Безу, следствие из которой: если корень многочлена , то этот многочлен делится без остатка на разность ; частное от деления на есть многочлен степень которого равна . Целые корни многочлена с целыми коэффициентами ищутся среди делителей свободного члена .

Теорема. Каждое алгебраическое уравнение п-ой степени имеет ровно п корней.

§10 Рациональные неравенства

Рациональные неравенства – это неравенства вида:

1) или 2) Э, где и некоторые многочлены.

Поскольку .

, то для решения рациональных неравенств удобно применить метод интегралов.

. Раскладывая числитель на множители. Подбором среди делителей свободного члена числителя находим что корень многочлена .

Деля данный многочлен углом на получаем .

Исходное неравенство равносильно системе:

Решая 1-ое неравенство методом интервалов:

1. корни многочлена, стоящего в левой части неравенства разбивают ось на интервалы знакопостоянства многочлена;

2. определяем знак многочлена в каждом из интервалов;

3. пишем ответ.

Выкалывая точки и . Получаем окончательно:

.

§11 Прогрессии

Арифметическая прогрессия (а.п.)

1. если есть п-й член, разность и - сумма п первых членов а.п., то . а.п. возрастает, если , убывает, если .

2. Для каждого члена а.п., начиная со второго выполняется равенство .

Геометрическая прогрессия (г.п.)

1. если есть п-ый член, - знаменатель, - сумма п первых членов прогрессии, то: .

2. 

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

.

16