§7 Обзор элементарных функций
1. Линейная функция
Уравнение
задает линейную функцию с областью
определения
.
Известно, что
каждое уравнение первого порядка
относительно переменных
и
определяет прямую линию на плоскости
, где
,
а
- угол, образованный прямой и положительным
направлением оси
;
- значение координаты
при пересечении прямой с осью
.
Пример.
,
.
.
Прямые, параллельные
оси
описываются уравнениями
.
2. Квадратичная функция.
Функция вида
называется квадратичной или квадратным
трехчленном. График этой функции
называется параболой. Дан квадратный
трехчлен
.
Для построения графика выделим полный
квадрат (полным квадратом называется
выражение вида:
).
.
(дискриминант
квадратного трехчлена
).
1)Точка
- является вершиной параболы.
2)Знак
определяет направление ветвей параболы
(вверх);
(вниз).
3)Находим точки пересечения параболы с осями координат:
.
Количество точек
пересечения параболы с осью
зависит от знака
(дискриминанта).
1)
уравнение
имеет два корня
(график пересекает ось
в двух точках).
2)
(график касается оси
)
3)
нет действительных корней уравнения
нет точек пересечения графика с осью
.
Пример.
Построить график
.
.
В
ершина
в точке
.
Ветви направлены вниз. Точки пересечения
с
,
с осью
3. Степенные функции.
Функции
вида
,
где
называют
степенной. Графики наиболее часто
встречающихся функций
гипербола
4. Показательная функция.
,
где
.
(экспонента)
5. Гиперболические функции.
.
,
.
6. Логарифмическая функция.
Было
или
- натуральный
логарифм;
- десятичный логарифм.
Основные теоремы о логарифмах:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
.
Построим
графики логарифмических функций:
Следует
отметить:
,
при
.
7. Тригонометрические функции.
Тождества:
радиан.
1 радиан =
.
Углы в градусах |
|
|
|
|
|
|
|
|
Углы в радианах |
|
|
|
|
|
|
|
|
;
;
Гармоника:
- амплитуда;
- частота;
- фаза.
Пример.
.
Р
ешение:
.
Введем понятие обратных тригонометрических функций.
Решение простейших тригонометрических уравнений:
|
|
Примеры решений тригонометрических неравенств:
Пример:
,
.