Билет 12

1) Логарифмическая функция у = log_a x (а > 0, a # 1 ) определена только при х > 0 (у = log_a x <=> х = а^y) и обладает следующими свойствами:

1. монотонности: 0 < x₁ < x₂<=>

2. сохранения знака:у = log_a x > 0 <=>

3. асимптотического стремления к бесконечности: при х —> 0 (x > 0),

Прямая х = 0 называется вертикальной асимптотой графика функции у = log_a x.

2) Вектор — понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если два ненулевых вектора АВ и СD коллинеарны и если при этом лучи АВ и CD сонаправлены, то векторы АВ и CD называются сонаправленными.

Суммой векторов a(a1; a2; a3) и b(b1; b2; b3) называется вектор c (a1+b1; a2+b2; a3+b3). Произведение вектора a(a1; a2; a3) на число λ называется вектор λ a = (λa1; λa2; λa3). Скалярным произведением векторов (a1; a2; a3) и (b1; b2; b3) называется число a1b1 + a2b2 + a3b3

Билет 13

1) Теорема. Если функция f возрастает (или уменьшает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определённая в области значений f, так же является возрастающей (соответственно убывающей).

2) Скалярным произведением двух векторов называется произведение их блин на косинус угла между ними.

a{x₁;y₁;z₁}

a*b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

b{ x_2; y_2; z_2}

cos a= x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂/корень x₁²+y₁²+z₁²*корень x₂²+y₂²+z₂²

Билет 14

1)Логарифм положительного числа по основанию (обозначается ) — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить . b > 0, a > 0, а≠ 1.

,

Пример:

Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, который обозначается как .

, , так как

Натуральный логарифм — логарифм с основанием , обозначается

Свойства логарифма

Основное логарифмическое тождество

Логарифм произведения — это сумма логарифмов

Логарифм частного — это разность логарифмов

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа

Показатель степени основания логарифма

, в частности если m = n, мы получаем формулу: , например:

Переход к новому основанию

, частности, если c = b, то , и тогда:

2) Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Док-во

Билет 15

1)

Теорема 1. Функция e^x дифференцируема в каждой точке области определения и (e^x)`=e^x..

Теорема 2. Показательная функция а ^x дифференцируема в каждой точке области определения и (a^x)`=a^xlna.

2) Прямоугольная система координат в пространстве представляет собой 3 перпендикулярные прямые, имеющие направление (оси координат) и одну общую точку пересечения (координат).

Абсцисса (х), ордината(у), аппликата(z)

Билет 16

1) Первообразной для функции а^x на R является функция . Действительно, ln a — постоянная, и поэтому

при любом х. Этим доказано, что есть первообразная для а^x на R. А из равенства (е^x)' = е^x для всех х следует, что е^x есть первообразная для е^x на R.

2) Цили́ндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей. Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой и длиной , равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:

Билет 17

1) Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида log_a x = b.

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Утверждение 2. Уравнение log_a f(x) = log_a g(x)     (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

	f(x) = g(x),			f(x) = g(x),
	f(x) > 0,			g(x) > 0.

Утверждение 3. Уравнение log_h(x) f(x) = log_h(x) g(x) равносильно одной из систем

	f(x) = g(x),			f(x) = g(x),
	h(x) > 0,			h(x) > 0,
	h(x) ≠ 1,			h(x) ≠ 1,
	f(x) > 0,			g(x) > 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения f(x) = g(x)   и   log_a f(x) = log_a g(x) или log_a [f(x)·g(x)] = b   и   log_a f(x) + log_a g(x) = b вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже). Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

2) Сфе́ра — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы.

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии не больше заданного.

(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=R² – Уравнение

Теорема. Радиус сфера, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости