- •Билет 1
- •Билет 2
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}
- •1) Степень с рациональным показателем
- •Степень с рациональным показателем.
- •Решение:
- •Билет 11
- •Билет 12
- •Теорема. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
- •Билет 18
- •2) Теорема. Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту
- •Билет 19
- •Билет 20
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то
2) Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники и все двугранные углы равны. Тетраэдр(Огонь), Куб(Земля), Октаэдр(Воздух), Додекаэдр(Вселенная), Икосаэдр(Вода).
Тетра-4; Гекса-6;Окто-8;Додека-12;Икоси-20;Эдрон-грань
Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В+Р=2, где Г – число граней, В вершин, Р – рёбер данного многогранника.
Билет 6
1) Корень -й степени из числа — это число, -я степень которого равна .
Если — чётно.
Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.
Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем n-ой степени из a и обозначается
Если — нечётно.
Тогда уравнение имеет единственный корень при любом .
Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}
Если показателем степени является целое положительное число:
, n > 0
Возведение в нулевую степень:
, a ≠ 0
Если показателем степени является целое отрицательное число:
, a ≠ 0
Прим: выражение не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то
Пример 1.
2) Теорема. Объём шара радиуса R равен 4/3*ПR3.
Док-во: Проведём ось Ох через центр шара
(.)М принадлежит ОХ
Через (.)М проведём плоскость перпендикуляр ОХ сечение шара – круг
r – радиус круга
х – абсцисса (.)М из треугольника ОМС – прямоугольника =>
r=корень OC2-OM2=корень R2-x2
т.к. Sкр=П(R2-x2)
из формулы для вычисления =>
V=R интеграл –R П(R2-x2)dx=ПR2 R интеграл –R dx= П R инеграл –R x2dx=ПR2*x R|-R –Пx3/3 R|-R=4/3ПR3
Билет 7
1) Применение имеет широкое практическое применение. Он используется для решения множества задач прикладного характера:
1)Вычисление объёмов тел:
S(x) площадь сечения тела плоскости
V=b интеграл a S(x)dx
2)Работа переменно силы:
A= b интеграл a f(x)dx f(x) – сила которая действует на длины тела
3)Центр масс:
M= b интеграл a q(x)dx q(x) – плотность тела
4)Положение тела в пространстве:
x= b интеграл a U(t)dx U(x) – скорость тела
5)Скорость тела:
U= b интеграл a a(t)dx a(t) – ускорение
2) Ко́нус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа π на радиус окружности основания и на длину образующей конуса
где R – радиус основания конуса, а l – длина образующей.
Билет 8
1)Функция вида y = ax, в которой a - положительное (постоянное) число, называют показательной функцией. Аргумент x принимает любые действительные значения; значениями функции обычно рассматривают только положительные числа, потому что иначе мы получаем многозначную функцию. Например, функция y = 81x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = -3 , y = 3 i и y = -3 i. (Корень 4ой степени из 81, где i2 = -1) Так как значениями функции обычно рассматривают только положительные числа, рассматриваем в качестве значения только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку ( 0, 1 ). При a = 1 мы имеем график прямой линии,параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:
- область определения функции: - бесконечночть < x < + бесконечночть ( т.e. x R );
область значений: y > 0 ;
- функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;
- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;
- нулей функция не имеет.
2) Многогранник — поверхность, составленная из многоугольников, которые ограничивают некоторое геометрическое тело, оно также иногда называется многогранником.
Многогранником называется фигура, состоящая из конечного числа плоских многоугольников (называемых гранями многогранника), расположенных в пространстве так, что:
1) любая сторона каждой из этих граней является стороной еще одной и только одной грани (называемой смежной с первой гранью);
2) для любых двух граней и можно указать такую цепочку граней , , , , что грань смежна с гранью , грань смежна с , , грань смежно с гранью ;
3) если грани и имеют общую вершину , то выбор граней , , , , о которых говорится в предыдущем пункте, можно осуществить так, чтобы все они имели ту же вершину .
Билет 9