1) Степень с рациональным показателем

Если:

• a > 0;

• n — натуральное число;

• m — целое число;

Тогда:

Пример 2.

Степень с рациональным показателем.

Выражение аⁿ определено для всех а и n, кроме случая а=0 при n≤0. Напомним свойства таких степеней. Для любых чисел а, b и любых целых чисел m и п справедливы равенства:

a^m*aⁿ=a^m+n;

a^m:аⁿ=a^m-n (а≠0);

(а^m)ⁿ = а^mn;

(ab) ⁿ = aⁿ*bⁿ;

(b≠0);

а¹=а; а⁰=1 (а≠0).

2) Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А₁А₂ …А_n и В₁В₂ … В_n, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой.

Многогранники А₁А₂ …А_n и В₁В₂ … В_n называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Отрезки А₁А₂, В₁В₂, …, А_nВ_n называются боковыми рёбрами призмы.

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна её боковому ребру.

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. S_бок=P_осн*h

Билет 10

Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: а^х = а^b, где а> 0, а 1, х - неизвестное.

Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные уравнения:  а>0, b>0.

1. а⁰ = 1, а¹= а.

2. а^m/n= , где m и n– натуральные числа.

3. a^-n = 1/ аⁿ

4. aⁿ × a^m = a^n+m

5. aⁿ/a^m = a^n-m

6. (aⁿ)^m = a^n-m

7. (ab)ⁿ = aⁿ×bⁿ

8. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.

При решении показательных уравнений пользуются также следующими свойствами показательной функции: y = a^x, a > 0, a 1:

1. a^x>0, при всех a>0 и x R;

2. x₁ =x₂.

 Для представления числа в виде степени используют основное логарифмическое тождество: b = , a > 0, a 1, b > 0.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.

3^x – = 24.

Решение:

3^x – 3^{x – 2} = 24 3^{x – 2}(3²– 1) = 24 3^{x – 2} × 8 = 24 3^{x – 2}= 3 x – 2 = 1 x = 3.

Ответ: 3.

2) Если основание пирамиды — правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания, то — пирамида правильная. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется — апофема правильной пирамиды.

Правильная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный многоугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.

Теорема. Площадь боковой поверхности пирамиды S_бок равна произведению n (числа сторон или вершин многоугольника основания) на площадь одной грани.

Билет 11

1) При решении показательныx неравенств используются следующие утверждения:

A.1. Если a > 1, неравенство a ^f(x) > a ^g(x) равносильно неравенству f(x) > g(x). Аналогично,   a ^f(x) < a ^g(x)  f(x) < g(x).

A.2. Если 0 < a < 1, неравенство a ^f(x) > a ^g(x) равносильно неравенству f(x) < g(x). Аналогично,   a ^f(x) < a ^g(x)  f(x) > g(x).

A.3. Неравенство [h(x)] ^f(x) > [h(x)] ^g(x) равносильно совокупности систем неравенств

		h(x) > 1,
		f(x) > g(x),
		0 < h(x) < 1,
		f(x) < g(x).

2) Правильная усеченная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный многоугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины. Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида.

Теорема. Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров обоих оснований на апофему.