Нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при изгибе и их эпюры. Основные гипотезы теории изгиба балок.
Для определения нормальных напряжений
σz в произвольно выбранной
точке К поперечного сечения прямого
стержня. Также в площадке развиваются
напряжения по осям x и y,
но они намного меньше σz, поэтому в
расчётной схеме при определении
деформации еz этими
напряжениями пренебрегают. Принимаем
в обобщённой формуле закона Гука:
,
если мысленно разделит стержень на
продольные волокна, то следующая гипотеза
говорит о том, что в каждой точке стержня
продольная деформация волокна развивается
также как при одноосном растяжении -
сжатии волокна, и определяется только
нормальным напряжением по оси z.
Гипотеза о ненадавливании продольных волокон: Волокна стержня, параллельные его оси испытывают деформации растяжения-сжатия в продольном направлении и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении.
Гипотеза плоских сечений при изгибе: каждое поперечное сечение стержня, плоское до деформации, остаётся плоским и нормальным к искривлённой оси стержня после деформации. (это положение позволяет рассматривать поперечное сечение стержня как бесконечно тонкое плоское тело, имеющее в отношении перемещений конечное число свободы.
Перемещение w будем считать
положительным, если оно направлено в
положительном направлении оси z,
углы поворота вокруг осей x
и y положительны, если
нормаль к сечению, вместе с сечением
поворачивается по кратчайшему угловому
пути от оси z соответственно
к осям y и x.
При проецировании сечения повёрнутого
на угол Fi_x,
в виду малости угла Sin(Fi_x)=Fi_x,
найдём, что произвольная точка, имеющая
координату y>0, получит
отрицательное перемещение (-Fi_x*y),
так как это перемещение противоположно
оси z Суммарное перемещение
будет следующим:
,
пусть
,
тогда формула примет вид…. В общем
случае напряжения сигм_z
в поперечном сечении изменяются по
закону плоскости, далее находятся
неизвестные постоянные:
,
получаем формулу для определения
нормальных напряжений при изгибе:
Формула
подходит только для осей, проходящих
через центр тяжести сечения (центральные)
и являющихся для него главными. Плоскости
x-z и y-z
содержащие ось стержня и одну из главных
осей сечения называются главными
плоскостями изгиба стержня. Правило
знаков: растягивающая сила N
положительна, изгибающие моменты Мx
и My также положительны,
если они в точке, принадлежащей первой
четверти осей координат, вызывают
растягивающие напряжения.
Пусть во всех поперечных сечениях
стержня N=0,My=0,
My не равно нулю, стержень
изгибается в главной плоскости yz
Рассмотрим более детально плоский изгиб
участка стержня моментом Mx=cost.
Такой случай нагружения называется
чистым изгибом. Нормальные напряжения
в соответствии с предыдущей формулой
определяются по формуле:
.
- условие прочности для нормальных
напряжений.
Косой изгиб. Напряжённо-деформированное состояние при косом изгибе.
Предположим, что стержень нагружен так,
что суммарный изгибающий момент Ми в
сечении действует в плоскости, не
совпадающей ни с одной из главных
плоскостей, а продольная сила N=0.
Такой случай называют косым изгибом
(рис). Момент Ми представим в виде вектора,
перпендикулярного плоскости нагружения
F_F, в которой
действует этот момент. Разложим его на
составляющие: Mx=Mи*cos(alpha);My=-Ми*sin(alpha)
(«-» означает что второй момент сжимает
сечение в первой четверти). В связи со
сказанным, напряжения будут определяться
по формуле:
.
Координаты нулевой линии обозначим Xn
и Yn, из условия σ=0, получим
уравнение этой линии при косом изгибе.
Она проходит через начало координат, а
её наклон определяется тангенсом угла:
tg(betta)=Yn/Xn.
Наклонное положение нулевой линии и
определяет название «косой изгиб»
Условие прочности для косого изгиба:
,
где X,Y – координаты точки,
наиболее удалённой от нулевой линии
(находиться при параллельном её переносе
по сечению).
