Дифференциальные зависимости между m, q, q при поперечном изгибе балок. Понятие о чистом изгибе.

Плоским изгибом называют, случай, когда балка изгибается в плоскости действия внешней нагрузки и реактивных усилий. Если при плоском изгибе внешняя нагрузка перпендикулярна продольной оси балки, то такой изгиб называют поперечным.

1) Поперечная сила положительна, если она стремиться повернуть элемент балки по ходу часовой стрелки.

2) Изгибающий момент положителен, если он изгибает балку так, что нижние волокна растянуты, а верхние сжаты.

Рассмотрим балку с внешней распределённой нагрузкой qy, направленной вниз вдоль положительного направления оси у. Выделим из неё в произвольном месте длинной dz. Действие левой отброшенной части заменим поперечной силой Qy и моментом Mx, а действие правой отброшенной части соответственно Qy+dQy и Mx+dMx. Предположим что эти силы положительны. Кроме них, на элемент действует qy, которую вследствии малости dz будем считать равномерно распределённой.

Составим для элемента два уравнения равновесия:

,

,

Из первого уравнения после преобразований получим - Первая производная от поперечной силы про продольной координате, равна интенсивности распределённой нагрузки, взятой с обратным знаком.

Из второго уравнения, пренебрегая величиной (второго порядка малости)

- Первая производная от изгибающего момента по продольной координате равна поперечной силе. (в случае распределённого момента к поперечной силе прибавляется mx- Первая производная от изгибающего момента по продольной координате равна сумме поперечной силы и интенсивности распределённой нагрузки. )

Первая производная от изгибающего момента по продольной координате равна интенсивности распределённой нагрузки, взятой с обратным знаком.

Определение напряжений, деформаций и перемещений при центральном растяжении (сжатии) стержней. Закон Гука. Коэффициент Пуассона. Двухосное напряжённое состояние.

Принцип Сен-Венана: распределение напряжений существенно зависит от способа приложения внешних сил лишь вблизи места нагружения, а в частях, достаточно удалённых от мест приложения сил, распределение напряжений практически зависит только от статического эквивалента этих сил. Гипотеза Я. Бернулли: поперечные сечения стержня, плоские и перпендикулярные его продольной оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси и после деформации. На основании гипотезы плоских сечений, можно заключить, что так как все продольные волокна деформируются одинаково, то нормальные напряжения, вызывающие эти деформации, ток же должны быть одинаковыми и, следовательно, распределены по поперечному сечению равномерно σz=const. Используя зависимость , и учитывая сказанное, получим: ,откуда можно определить нормальные напряжения. Формула применяется при определении напряжений в растянутых и коротких сжатых стержнях. Правила знаков принимаются те же, что и для продольной силы N.

При наличии отверстий в сечении, площадь берётся с учётом поперечной площади отверстий. При растяжении абсолютное удлинение Δl, а длинна стержня становиться l+Δl, соответственно абсолютные поперечные деформации стержня.

Относительной продольной деформацией называется отношение абсолютной продольной деформации к первоначальной длине стержня. , относительной поперечной деформацией: , для изотропных материалов поперечные деформации равны между собой. Все эти деформации называются линейными.

Модуль упругости (дал определение как отношение нагрузки, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, к произведённому ей относительному удлинению. Томас Юнг определил его так: Модуль упругости какого-либо вещества представляет собой столбик этого вещества, способный произвести давление на своё основание, которое также относится к весу, как длинна столбика к уменьшению его длинны. , формула закона Гука . Модуль упругости является физической постоянной и определяется для каждого материала экспериментально.[Па] Абсолютное значение отношения относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации при растяжении или сжатии в области действия закона Гука называется коэффициентом Пуассона: . Этот коэффициент характеризует свойства материала и определяется экспериментально. Деформация относительно оси z продольно растянутого элемента стержня на основании закона Гука равна:

Поперечные деформации с учётом выражений равны:

Рассмотрим стержень, нагруженный на правом конце равномерно распределённой продольной нагрузкой, которая вызывает его растяжение. Выделим два произвольных сечения а-а, b-b? Отстоящие друг от друга на расстояние dz. От приложенной нагрузки сечение а-а переместиться на расстояние аа1=w(z), а сечение b-b на расстояние bb1=w(z)+dw, а отосительное удлинение (деформация)

Для линейно упругого материала , т.е. , или , где EF –жёсткость стержня при растяжении и сжатии. Перемещение произвольного сечения . На некотором участке , где сигм_z = const, полное удлинение стержня, определяемое по формуле delta_l=w(l)-w(0) Положителными продольными перемещениями являются перемещения соответствующие положительному направлению оси z.