Статические моменты и центр тяжести поперечных сечений стержней. Моменты инерции и моменты сопротивления изгибу.

Статическим моментом сечения относительно данной оси называется сумма произведений элементарных площадей dF на их расстояния до данной оси, которая распространяется на всю площадь сечения F.

[см3,м3]. Ось, относительно которой статический момент равен 0, называют центральной. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения. Статический момент площади F относительно какой-либо оси, равен произведению всей площади на расстояние от её центра тяжести до этой оси.

Центр тяжести сечения:

Моменты инерции сечения.

Осевым моментом инерции относительно данной оси называется сумма произведений элементарных площадей на квадрат расстояний до данной оси, которая распространяется на всю площадь сечения F. . Полярным моментом инерции относительно данной точки называется сумма произведений элементарных площадей на квадрат расстояний до точки, которая распространяется на всю площадь сечения F. . Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, проходящих через полюс О.(рис., p2=x2+y2)

П ри любом повороте осей координат относительно полюса сумма осевых моментов инерции остаётся неизменной.

Центробежным моментом инерции сечения относительно осей координат называется сумма произведений элементарных площадей на их расстояния до осей, которая распространяется на всю площадь сечения F.

Для прямоугольного сечения: Ниже приведены моменты инерции наиболее распространенных простейших сечений:

Ixc Iyc Ixcyc

прямоугольник

bh3/12 b3h/12 0

прямоугольный треугольник

bh3/36 b3h/36 -b2h2//78 bh3/12

диск

Пd4/64 Пd4/64 0

пластина

0,11r2 Пd/128 0

Момент сопротивления при изгибе.

Наибольшее нормальное напряжение при плоском изгибе возникает в точке, наиболее удалённой от нулевой линии (y=y_max). Условие прочности по нормальным напряжениям записывается в виде: , где Wx - геометрическая характеристика сечения, называемая моментом сопротивления при изгибе: , [см3,м3]. Для прямоугольного сечения :

Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения

Для треугольника

Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей.

Для произвольных осей x1 и y1 (рис), сечения площадью F. Координаты элементарной площади в системе x1O1y1: y1=y+a,x1=x+b. Пусть известны все геометрические характеристики сечения относительно осей x и y, которые параллельны произвольным осям. Найдём осевой момент инерции относительно x1: , аналогично для оси y1. Используя формулы моментов инерции и статических моментов получим: , при подстановке (…..) зависимость для центробежного момента инерции принимает вид:

.Так как моменты относительно первоначальных осей определены, то, если они центральные, статические моменты в формулах равны нулю:

, . Определение перехода от центральных осей к параллельным им: момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями (на произведение расстояний до осей).

При повороте осей

Выведем зависимости относительно осей u и v, повёрнутых на угол альфа против часовой стрелки. Будем считать что моменты инерции относительно x и y известны. Запишем координаты элементарной площадки в новых осях. u=y*sin(alpha)+x*cos(alpha), v=y*cos(a)-x*sin(a). Момент инерции относительно v: , подставляя координату в выражение, получаем: , аналогично для оси u и центробежного момента: .